Hei stensrud,
Ser at Brahmagupta har gitt et svar som viser det viktigste ved løsningen på oppgaven.
Velger likevel å gi et svar da jeg har brukt litt tid på oppgaven, og kan vise litt mer om
hvordan vi finner det som er det viktigste ved løsningen.
Det viktigste ved løsningen er å kunne vise til at:
((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) < (aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x
For å få litt bedre oversikt over oppgaven forenkler vi som følger:
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) = b og ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) = c får vi at
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) \ p ≤ ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) \ r gir
(b \ p) ≤ (c \ r), der b ≥ c og p ≥ r.
Vi vet at når p og r øker, øker også b og c. Tilsvarende kan vi si at når x øker i (a \ x)
øker også a. Dersom vi kan vise at økningen til a gir forholdsvis mindre økning enn minkingen x
gir til (a \ x), vil vi kunne finne at (a \ x) minker når x øker - og når dette skjer vil alltid også
tilsvarende
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) \ p ≤ ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) \ r
Dette kan vi vise fordi at ved ((aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x \ x) utjevner nedhøyingen opphøyingen
slik at følgen verken øker eller minker ved økende og minkende x. Men i motsetning til dette vil
ikke nedhøyingen utjevne opphøyingene i (((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) \ x), og da
vil det siste tilfellet alltid minke da opphøyingen gir mindre økning enn den minking ned-
høyingen gir.
Da trekker vi inn igjen ulikheten som vist innledningsvis som viser at dette er riktig:
((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) < (aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x
Et særtilfelle gjelder når n = 1 og aᶦ1, da får diemet likevekt.
Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/
Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/tjenester/fagsporsmal.php