Trigonometri-nøtt

[Kjemikern]

Velkommen til 2016!

En fin trigonometri-nøtt:

Gitt at [tex]\int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin\, x}{x}dx=\pi ,[/tex] vis da at for hvilket som helst positivt oddetall
[tex]k[/tex] er et rasjonal nummer [tex]r_k[/tex] slik at [tex]\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \frac{sin\, x}{x} \right )^kdx=r_k\pi .[/tex]

[Gustav]

Velkommen til 2016!

En fin trigonometri-nøtt:

Gitt at [tex]\int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin\, x}{x}dx=\pi ,[/tex] vis da at for hvilket som helst positivt oddetall
[tex]k[/tex] er et rasjonal nummer [tex]r_k[/tex] slik at [tex]\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \frac{sin\, x}{x} \right )^kdx=r_k\pi .[/tex]

Hint 1:
Jeg har ikke løst oppgaven, men tenker at en mulighet er å bruke identiteten

$\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{\big((n-2k)\theta\big)}$,

som gjelder for odde $n$.

Hint 2:
Deretter kan man bruke gjentatt delvis integrasjon for å uttrykke integralet som en rasjonal kombinasjon av $\int sinc(x)\,dx$.

[Kjemikern]

Velkommen til 2016!

En fin trigonometri-nøtt:

Gitt at [tex]\int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin\, x}{x}dx=\pi ,[/tex] vis da at for hvilket som helst positivt oddetall
[tex]k[/tex] er et rasjonal nummer [tex]r_k[/tex] slik at [tex]\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \frac{sin\, x}{x} \right )^kdx=r_k\pi .[/tex]

Hint 1:
Jeg har ikke løst oppgaven, men tenker at en mulighet er å bruke identiteten

$\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{\big((n-2k)\theta\big)}$,

som gjelder for odde $n$.

Hint 2:
Deretter kan man bruke gjentatt delvis integrasjon for å uttrykke integralet som en rasjonal kombinasjon av $\int sinc(x)\,dx$.

Interessant! Jeg gjorde den litt annerledes, men din løsning er fiffig!

(Ser at du rydder i "nøttehyllen", har noen fine nøtter jeg skal legge ut snart)

[Gustav]

Interessant! Jeg gjorde den litt annerledes, men din løsning er fiffig!
(Ser at du rydder i "nøttehyllen", har noen fine nøtter jeg skal legge ut snart)

Hvordan gjorde du den?

Artig om du legger ut flere nøtter! Gjerne på ulike vanskelighetsgrader, så flere kan løse dem! Har inntrykk av at mange av nøttene oppleves litt vel vanskelige for vgs-elever og andre.

[hco96]

Interessant! Jeg gjorde den litt annerledes, men din løsning er fiffig!
(Ser at du rydder i "nøttehyllen", har noen fine nøtter jeg skal legge ut snart)

Hvordan gjorde du den?

Artig om du legger ut flere nøtter! Gjerne på ulike vanskelighetsgrader, så flere kan løse dem! Har inntrykk av at mange av nøttene oppleves litt vel vanskelige for vgs-elever og andre.

Jeg kan si meg enig i at mange av nøttene oppleves litt vel vanskelige ja.
Det hadde vært utrolig gøy med noen nøtter som var litt mer vgs-orientert.
Uansett så syntes jeg at det har vært en veldig fin aktivitet på "nøtte"-forumet i det siste.

[Kjemikern]

Hvordan gjorde du den?

Artig om du legger ut flere nøtter! Gjerne på ulike vanskelighetsgrader, så flere kan løse dem! Har inntrykk av at mange av nøttene oppleves litt vel vanskelige for vgs-elever og andre.

La $Df$ betegne $df/dx$. Vi partialintegrer $n-1$ for å få:


(1) $\int_{-\infty }^{\infty } (\frac{ \sin x}{x})^n dx = \frac{1}{(n-1)!}\int_{-\infty }^{\infty } (\frac{ D^{n-1} \sin x}{x}) dx$

Integralet på venstre side er absolutt konvergent for $n\geq 2$, og integranden strekker seg kontinuerlig ved $x=0$. Integranden på høyre side har de samme egenskapene, i tillegg til den konvergerer av et integral under.

Det er enkelt å vise ved induksjon at $\sin ^n x$ er et lineær kombinasjon av $\sin (kx), k= 1,2,3.....n$ med rasjonale koeffisienter. Vi må huske at $n$ skulle være et oddetall, så det holder å bevise vårt utsagn for

(2) $\int_{-\infty }^{\infty } \frac{ D^{n-1} \sin (kx)}{x} dx$

Siden $n-1$ er jevn, holder det med å kun studere:

(3) $\int_{-\infty }^{\infty } \frac{ \sin (kx)}{x} dx=\int_{-\infty }^{\infty } \frac {\sin x}{x} dx=\pi. $

Både, (1), (2) , og (3) beviser vårt utsagn.