"Rasjonal" trekant

[Kjemikern]

La $O>0$ være et rasjonal tall. Vis at $O$ er Arealet for en rettvinklet trekant med rasjonale sider hvis og bare hvis det finnes tre rasjonale tall, $x$, $y$, og $z$ slik at:

$x^2-y^2=x^2-z^2=O.$

[Nebuchadnezzar]

Me området mener du areal eller omkrets?

[Kjemikern]

Me området mener du areal eller omkrets?

Selvfølgelig arealet.

Endret =)

[Gustav]

La $O>0$ være et rasjonal tall. Vis at $O$ er Arealet for en rettvinklet trekant med rasjonale sider hvis og bare hvis det finnes tre rasjonale tall, $x$, $y$, og $z$ slik at:

$x^2-y^2=x^2-z^2=O.$

Tror det er en feil i oppgaveteksten. Det skal vel være $x^2-y^2=z^2-x^2=O$.

$\Rightarrow$:

Anta at $a,b,c$ er rasjonale sider i en rettvinklet trekant med areal $O=\frac{ab}{2}$. Da er $a^2+b^2=c^2$, så $(a+b)^2-2ab=c^2$, som kan skrives $(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{c}{2})^2=O$

La derfor $x=\frac{c}{2}$, $y=\frac{a-b}{2}$, og $z=\frac{a+b}{2}$. Dermed er $x^2-y^2=z^2-x^2=O$ oppfylt for rasjonale tall.

$\Leftarrow$:
La $O$ være et rasjonalt tall og anta at det fins rasjonale tall $x,y,z$ slik at $x^2-y^2=z^2-x^2=O$.

Vi har da at $(x^2-y^2)+(z^2-x^2)=z^2-y^2=2O$, som kan skrives $(z-y)(z+y)=2O$, og

$0=z^2-x^2-(x^2-y^2)=z^2+y^2-2x^2$, så $2(z^2+y^2)=(2x)^2$.

La $a=z-y$, $b=z+y$ og $c=2x$.

Da er $O=\frac{ab}{2}$, og $a^2+b^2 = (z-y)^2+(z+y)^2=2(z^2+y^2)=(2x)^2=c^2$.

Dermed er (a,b,c) en rasjonal pytagoreisk trippel, og det eksisterer en rasjonal rettvinklet trekant med areal $O$.


EDIT: Det er for øvrig et interessant (og uløst!) problem (kalt "congruent number problem") relatert til denne: For hvilke rasjonale tall O, fins det en rettvinklet trekant med rasjonale sider og areal O. https://en.wikipedia.org/wiki/Congruent ... er_problem