matematikk.net

Kvadratet ABCD har sidelengder på 6cm. Videre er punktet E plassert på midtpunktet i linjestykket AB. Diagonalen BD skjærer medianen fra C til E i et punkt F. Finn arealet av [tex]{\color{Purple} {\bigtriangleup BFC}}[/tex]




Skisse:

Drezky skrev:Kvadratet ABCD har sidelengder på 6cm. Videre er punktet E plassert på midtpunktet i linjestykket AB. Diagonalen BD skjærer medianen fra C til E i et punkt F. Finn arealet av [tex]{\color{Purple} {\bigtriangleup BFC}}[/tex]
Skisse:

[tex]A({\bigtriangleup BFC})=0,5gh = 0,5*6*2 = 6\,(cm^2)[/tex]

$ \hspace{1cm}
\Delta BFC = \frac{1}{2} \frac{a b c}{a+c}
$ ^^

[tex]\triangle EBC-\triangle EBF=\triangle BFC[/tex]
[tex]\triangle EBC=6cm*3cm*0.5=9cm^2[/tex]
[tex]\triangle ABD=6cm*6cm*0.5=18cm^2[/tex]
[tex]\square ABCD=6cm*6cm=36cm^2[/tex]
[tex]\triangle EBC\rightarrow 30^o,60^0,90^0\:trekant[/tex]

Deler [tex]\triangle BFC[/tex] i henholdsvis [tex]\triangle BFL\:og\:\triangle FLC[/tex]
[tex]sin(30^o)=\frac{FL}{FC}=\frac{x}{\frac{2}{3}*\sqrt{45}}\Rightarrow sin(30^o)*2\sqrt{5}=x=\sqrt{5}=FL[/tex]
[tex]FC^2-FL^2=LC^2\Leftrightarrow \sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{5})^2}=\sqrt{15}[/tex]
[tex]a(\triangle FLC)=\sqrt{15}cm*\sqrt{5}cm*0.5=\frac{5\sqrt{3}}{2}cm^2[/tex]

[tex]a(\triangle BFL)=BL*LF*0.5=(6cm-LC)*\sqrt{5}cm*0.5=(6-\sqrt{15})cm*\sqrt{5}cm*0.5=\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{2}cm^2[/tex]

[tex]a(\triangle BFC)=a(\triangle BFL+\triangle FLC)=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{6\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{5}\approx=6.7cm^2[/tex]

Stemmer dette?

Geolase skrev:Stemmer dette?

[tex]6cm^2[/tex] er riktig.

Vi ser høyden til trekanten pga. rutene. Sidelengden er 6cm, som her er 3 ruter lang.
Trekanten er 1 rute høy, altså 2cm.

Areal av trekant: [tex]\frac12*g*h[/tex], som her blir: [tex]\frac12*6*2=6[/tex]

Jepp, arealet til trekanten er 6cm^2. Jeg klarer dog ikke å se hva du har gjort galt.. Skal se nærmere på det.

EDIT:
Tror feilen ligger at du bruker at [tex]\angle FBL=30^o[/tex]

Husk at i en 30, 60, 90 graders vinkel er den lengste kateten (hypotenusen) dobbelt så lang som den minste kateten. Jeg tror du tenkte at 6 cm er dobbelt så stor som 3 cm og derfor har vi en slik trekant. Men du tenker på feil sider.

Drezky skrev:Jepp, arealet til trekanten er 6cm^2. Jeg klarer dog ikke å se hva du har gjort galt.. Skal se nærmere på det.

EDIT:
Tror feilen ligger at du bruker at [tex]\angle FBL=30^o[/tex]

Husk at i en 30, 60, 90 graders vinkel er den lengste kateten (hypotenusen) dobbelt så lang som den minste kateten. Jeg tror du tenkte at 6 cm er dobbelt så stor som 3 cm og derfor har vi en slik trekant. Men du tenker på feil sider.

åhh flaut.. Kan man bruke samme fremgangsmåte som jeg uten å bruke at vi hare 30, 60 og 90 graders?

Gjest skrev:

Drezky skrev:Jepp, arealet til trekanten er 6cm^2. Jeg klarer dog ikke å se hva du har gjort galt.. Skal se nærmere på det.

EDIT:
Tror feilen ligger at du bruker at [tex]\angle FBL=30^o[/tex]

Husk at i en 30, 60, 90 graders vinkel er den lengste kateten (hypotenusen) dobbelt så lang som den minste kateten. Jeg tror du tenkte at 6 cm er dobbelt så stor som 3 cm og derfor har vi en slik trekant. Men du tenker på feil sider.

åhh flaut.. Kan man bruke samme fremgangsmåte som jeg uten å bruke at vi hare 30, 60 og 90 graders?

Jepp, det kan du gjøre (litt tungvint da)



Bare til å bruke at:
[tex]arctan\left (\frac{3}{6} \right )\approx26.57^o[/tex]

Løsningen med å bruke høyden til skjæringspunktet bare fra grafen funker bare når du har en nøyaktig nok figur. Hva om du ikke kan lese av høyden fra figuren?

Mener dette skal stemme, om man ikke kan lese av nøyaktige høyder, men har ikke jobbet med trekanter og slikt på en stund, så kan hende noe jeg tar som opplagt ikke er det, eller ikke stemmer i det generelle tilfellet, i så tilfelle beklager jeg.

Vi har 5 trekanter:

[tex]{\bigtriangleup BFC}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup EFB}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup BCE}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup CFD}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup BCD}[/tex]

Og disse arealene:

[tex]{\bigtriangleup BCE}=9={\bigtriangleup BFC}+{\bigtriangleup BFE}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup BCD}=18={\bigtriangleup BFC}+{\bigtriangleup CFD}[/tex]

Trekantene [tex]{\bigtriangleup CFD}[/tex] og [tex]{\bigtriangleup EFB}[/tex] er formlike pga motstående vinkler, og grunnlinjene er halvparten av hverandre, så høyden er halvparten av hverandre, og arealet er da en fjerdedel av hverandre, altså:

[tex]{\bigtriangleup CFD}=4{\bigtriangleup EFB}[/tex]

Dette gir
[tex]{\bigtriangleup BCD}=18={\bigtriangleup BFC}+4{\bigtriangleup EFB}=9+3{\bigtriangleup EFB}[/tex]
eller:
[tex]{\bigtriangleup EFB}=3[/tex]
Som gir:
[tex]{\bigtriangleup BFC}=6[/tex]

audunss89 skrev:Mener dette skal stemme, om man ikke kan lese av nøyaktige høyder, men har ikke jobbet med trekanter og slikt på en stund, så kan hende noe jeg tar som opplagt ikke er det, eller ikke stemmer i det generelle tilfellet, i så tilfelle beklager jeg.

Vi har 5 trekanter:

[tex]{\bigtriangleup BFC}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup EFB}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup BCE}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup CFD}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup BCD}[/tex]

Og disse arealene:

[tex]{\bigtriangleup BCE}=9={\bigtriangleup BFC}+{\bigtriangleup BFE}[/tex]
[tex]{\bigtriangleup BCD}=18={\bigtriangleup BFC}+{\bigtriangleup CFD}[/tex]

Trekantene [tex]{\bigtriangleup CFD}[/tex] og [tex]{\bigtriangleup EFB}[/tex] er formlike pga motstående vinkler, og grunnlinjene er halvparten av hverandre, så høyden er halvparten av hverandre, og arealet er da en fjerdedel av hverandre, altså:

[tex]{\bigtriangleup CFD}=4{\bigtriangleup EFB}[/tex]

Dette gir
[tex]{\bigtriangleup BCD}=18={\bigtriangleup BFC}+4{\bigtriangleup EFB}=9+3{\bigtriangleup EFB}[/tex]
eller:
[tex]{\bigtriangleup EFB}=3[/tex]
Som gir:
[tex]{\bigtriangleup BFC}=6[/tex]

Jepp!

[quote="Drezky"]Kvadratet ABCD har sidelengder på 6cm. Videre er punktet E plassert på midtpunktet i linjestykket AB. Diagonalen BD skjærer medianen fra C til E i et punkt F. Finn arealet av [tex]{\color{Purple} {\bigtriangleup BFC}}[/tex]

Hvis vi kaller punktet på BC der den vinkelrette streken treffer F for G, vet vi at CG = FG siden BGF danner et likebeint trekant. Vi vet også at forholdet mellom FG og GC er 3:6 eller 1:2 siden trekanten FGC er formlik med EBC.

Da får vi 2 formler for FG:

[tex]FG=\frac{1}{2}GC\Leftrightarrow 2FG=GC[/tex] og [tex]FG=BG[/tex]

Samtidig vet vi at [tex]BG+GC=6cm[/tex]

BG og GC kan vi erstatte så vi får:

[tex]FG+2FG=6\Leftrightarrow 3FG=6\Leftrightarrow FG=2[/tex]

Da har vi både høyden og grunnlinjen:

[tex]A(BCF)=\frac{1}{2}(6*2)=6cm[/tex]