Polynomer

[Kjemikern]

Hvis det finnes, finn polynomene $f(x),\: g(x),\: og\: h(x)$ slik at:

$\left | f(x) \right |-\left | g(x) \right |+\left | h(x) \right |=\left\{\begin{matrix} -1 \: \: \: hvis \: x <-1\\ 3x+2\; hvis -1\leq x\leq 0,\: og \\ -2x+2\: hvis\: x>0 \end{matrix}\right.$


Hint: Anta at at funksjonene er lineære og at endringen i beskrivelsen av funksjonene $p(x) = \left | f(x) \right |-\left | g(x) \right |+\left |h(x) \right |$ kommer fra funksjonene $f$ og $g$ der de skifter fortegn.

Hint 2: la $f(x)=m_1x+b_1$ og anta at $f(x)\geq 0$, hvis $x\leq -1$ og $f\leq 0 $.

[Gustav]

Hvis det finnes, finn polynomene $f(x),\: g(x),\: og\: h(x)$ slik at:

$\left | f(x) \right |-\left | g(x) \right |+\left | h(x) \right |=\left\{\begin{matrix} -1 \: \: \: hvis \: x <-1\\ 3x+2\; hvis -1\leq x\leq 0,\: og \\ -2x+2\: hvis\: x>0 \end{matrix}\right.$

La $p(x)=\left | f(x) \right |-\left | g(x) \right |+\left | h(x) \right |$

Vi kan finne punkter i alle intervallene som ikke er nullpunkter for hverken f,g eller h, slik at hverken f,g eller h skifter fortegn i en omegn om disse. I disse omegnen kan vi da skrive $p(x)=\sigma_1f(x)+\sigma_2g(x)+\sigma_3h(x)$ for passende verdier av $\sigma_i\in\{\pm 1\}$. Nå er p(x)+1 identisk lik 0 i en åpen omegn rundt et punkt i $(-\infty,-1)$, dermed følger det at alle koeffisienter må være 0, og da må f,g,h alle ha samme grad.

Anta at f,g,h har grad n>1. Hvis vi lar f,g,h ha ledende koeffisienter hhv. a,b,c, så må $\sigma_1 a+\sigma_2 b+\sigma_3 c=0$, der $(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$ er hjørner i en kube med sidelengder 2, i $R^3$. Geomtrisk sett er det kun to ulike løsninger for $\sigma_i$ dersom $a,b,c \neq 0$. Men da har vi et polynom $\sigma_1f(x)+\sigma_2g(x)+\sigma_3h(x)$ som nødvendigvis er forskjellig på to ulike delmengder, noe som er en motsigelse. Dermed må f,g,h ha grad 1.

Hvis hverken f,g eller h har nullpunkt i x=-1 eller x=0, så fins det omegner om hvert av punktene der vi kan skrive $p(x)=\sigma_1f(x)+\sigma_2g(x)+\sigma_3h(x)$, men denne er deriverbar i motsetningen til definisjonen i oppgaveteksten, som har knekkpunkter i x=0 og x=-1.

Vi har dermed noen få muligheter:

A) f(x)=ax, g(x)=b(x+1), h(x)=c(x+1)
B) f(x)=a(x+1), g(x)=bx, h(x)=c(x+1)
C) f(x)=ax, g(x)=bx, h(x)=c(x+1)
D) f(x)=ax, g(x)=b(x+1),h(x)=cx


Innsetting viser at ingen av disse gir en løsning. (eller så har jeg regna feil)

@Kjemikern: Har du noen annen løsning?

[Kjemikern]

Hvis det finnes, finn polynomene $f(x),\: g(x),\: og\: h(x)$ slik at:

$\left | f(x) \right |-\left | g(x) \right |+\left | h(x) \right |=\left\{\begin{matrix} -1 \: \: \: hvis \: x <-1\\ 3x+2\; hvis -1\leq x\leq 0,\: og \\ -2x+2\: hvis\: x>0 \end{matrix}\right.$

La $p(x)=\left | f(x) \right |-\left | g(x) \right |+\left | h(x) \right |$

Vi kan finne punkter i alle intervallene som ikke er nullpunkter for hverken f,g eller h, slik at hverken f,g eller h skifter fortegn i en omegn om disse. I disse omegnen kan vi da skrive $p(x)=\sigma_1f(x)+\sigma_2g(x)+\sigma_3h(x)$ for passende verdier av $\sigma_i\in\{\pm 1\}$. Nå er p(x)+1 identisk lik 0 i en åpen omegn rundt et punkt i $(-\infty,-1)$, dermed følger det at alle koeffisienter må være 0, og da må f,g,h alle ha samme grad.

Anta at f,g,h har grad n>1. Hvis vi lar f,g,h ha ledende koeffisienter hhv. a,b,c, så må $\sigma_1 a+\sigma_2 b+\sigma_3 c=0$, der $(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$ er hjørner i en kube med sidelengder 2, i $R^3$. Geomtrisk sett er det kun to ulike løsninger for $\sigma_i$ dersom $a,b,c \neq 0$. Men da har vi et polynom $\sigma_1f(x)+\sigma_2g(x)+\sigma_3h(x)$ som nødvendigvis er forskjellig på to ulike delmengder, noe som er en motsigelse. Dermed må f,g,h ha grad 1.

Hvis hverken f,g eller h har nullpunkt i x=-1 eller x=0, så fins det omegner om hvert av punktene der vi kan skrive $p(x)=\sigma_1f(x)+\sigma_2g(x)+\sigma_3h(x)$, men denne er deriverbar i motsetningen til definisjonen i oppgaveteksten, som har knekkpunkter i x=0 og x=-1.

Vi har dermed noen få muligheter:

A) f(x)=ax, g(x)=b(x+1), h(x)=c(x+1)
B) f(x)=a(x+1), g(x)=bx, h(x)=c(x+1)
C) f(x)=ax, g(x)=bx, h(x)=c(x+1)
D) f(x)=ax, g(x)=b(x+1),h(x)=cx


Innsetting viser at ingen av disse gir en løsning. (eller så har jeg regna feil)

@Kjemikern: Har du noen annen løsning?

Problem A1:
http://www.math.hawaii.edu/~dale/putnam/1999.pdf

[Gustav]

Takk, ser jeg gjorde en tabbe ved å anta at også h(x) måtte ha nullpunkt i x=0 eller x=-1. Noe jeg prøvde å vise, men ikke klarte. Ikke så rart at jeg mislyktes i det,

Misforsto ordlyden litt i oppgaven, da jeg trodde man skulle finne alle polynomer som tilfredsstiller kravet. Her er det tydeligvis nok å bare finne noen , uten å ha med noe bevis for at de er de eneste. Jeg tror derfor du burde skrevet "Hvis det finnes, finn polynomer $f(x),\: g(x),\: og\: h(x)$ slik at: "