Finn alle heltall $a,b,c$ slik at
$a^2=bc+1$ og $b^2=ca+1$
Hele tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Har lite erfaring med slike oppgaver, men prøver meg likevel
[tex]\ell_1: a^2=bc+1[/tex]
[tex]\ell_2: b^2=ca+1[/tex]
[tex]a^2-b^2=(bc+1)-(ca+1)[/tex]
[tex]a^2-b^2=bc+1-ca-1 \iff a^2-b^2=c(b-a)[/tex]
[tex]a^2-b^2-(c(b-a)) \implies (a-b)(a+b+c)=0[/tex]
[tex](a-b)(a+b+c)=0[/tex] gir [tex]a-b=0 \lor a+b+c=0[/tex]
[tex]a=b \lor c=-a-b[/tex]
Setter inn [tex]a=b[/tex] i [tex]\ell_2[/tex]
[tex]b^2=ca+1 \iff a^2=ca+1 \implies c+\frac{1}{a}=a[/tex]
[tex]c=a-\frac{1}{a}[/tex], og siden vi kun er ute etter heltallsløsningene må [tex]a=\pm 1[/tex] som medfører at [tex]c=0[/tex] og siden [tex]a=b[/tex] må også [tex]b=\pm 1[/tex]
Hvis [tex]a \neq b[/tex] må [tex]c=-a-b[/tex] som vi setter inn i [tex]\ell_1[/tex] [tex]:[/tex]
[tex]a^2=b(-a-b)+1[/tex] [tex]\iff a^2=-b^2-ab+1[/tex]
[tex]a=\frac{1}{2}(\pm\sqrt{4-3b^2}-b)[/tex] der kun [tex]b=0 \lor b=1 \lor b=-1[/tex] gir heltallsløsninger.
[tex]b=0 \lor b=1 \lor b=-1[/tex] gir henholdsvis [tex]a=\pm 1, a=-1 \lor a=0, a=0 \lor a=1[/tex] og [tex]c=-1 \lor c=1, c=0 \lor c=-1, c=1 \lor c=0[/tex]
Tok sin tid, men tror jeg kom i mål, eller?
[tex]\ell_1: a^2=bc+1[/tex]
[tex]\ell_2: b^2=ca+1[/tex]
[tex]a^2-b^2=(bc+1)-(ca+1)[/tex]
[tex]a^2-b^2=bc+1-ca-1 \iff a^2-b^2=c(b-a)[/tex]
[tex]a^2-b^2-(c(b-a)) \implies (a-b)(a+b+c)=0[/tex]
[tex](a-b)(a+b+c)=0[/tex] gir [tex]a-b=0 \lor a+b+c=0[/tex]
[tex]a=b \lor c=-a-b[/tex]
Setter inn [tex]a=b[/tex] i [tex]\ell_2[/tex]
[tex]b^2=ca+1 \iff a^2=ca+1 \implies c+\frac{1}{a}=a[/tex]
[tex]c=a-\frac{1}{a}[/tex], og siden vi kun er ute etter heltallsløsningene må [tex]a=\pm 1[/tex] som medfører at [tex]c=0[/tex] og siden [tex]a=b[/tex] må også [tex]b=\pm 1[/tex]
Hvis [tex]a \neq b[/tex] må [tex]c=-a-b[/tex] som vi setter inn i [tex]\ell_1[/tex] [tex]:[/tex]
[tex]a^2=b(-a-b)+1[/tex] [tex]\iff a^2=-b^2-ab+1[/tex]
[tex]a=\frac{1}{2}(\pm\sqrt{4-3b^2}-b)[/tex] der kun [tex]b=0 \lor b=1 \lor b=-1[/tex] gir heltallsløsninger.
[tex]b=0 \lor b=1 \lor b=-1[/tex] gir henholdsvis [tex]a=\pm 1, a=-1 \lor a=0, a=0 \lor a=1[/tex] og [tex]c=-1 \lor c=1, c=0 \lor c=-1, c=1 \lor c=0[/tex]
Tok sin tid, men tror jeg kom i mål, eller?
-
DivergenceGauss
- Fibonacci
- Innlegg: 2
- Registrert: 18/06-2016 18:00
Hei! Jeg er ny på forumet, men jeg har vært på denne siden flere ganger. Slike oppgaver er svært interessante. Jeg prøver meg slik:
(1): [tex]a^2=bc+1[/tex]
(2): [tex]b^2=ca+1[/tex]
Jeg undersøker differansen mellom den første og andre likningen:
[tex]a^2-b^2=bc+1-ca+1=bc-ac=c(b-a)[/tex]
[tex]a^2-b^2-c(b-a)=0[/tex]
[tex](a-b)(a+b)+c(a-b)=0[/tex]
[tex](a-b)(a+b+c)=0[/tex]
Produktregelen gir da at [tex]a=b[/tex] og [tex]c=-a-b[/tex]
Vi ser at det er to tilfeller vi må undersøke.
1) [tex]a=b[/tex] :
Innsatt i (2): [tex]a^2=ac+1[/tex]
Snur om, og får at:
[tex]c=a-\frac{1}{a}[/tex]
I oppgaven er det gitt at både a, b og c skal være heltall. Da mener jeg at det må stemme at [tex]\frac{1}{a}[/tex] skal være et heltall, og da er den eneste muligheten at [tex]a=\pm 1[/tex].
Dermed er [tex]a=1, b=1, c=0[/tex] ELLER [tex]a=-1, b=-1, c=0[/tex]
Til slutt har vi det andre tilfellet.
2) [tex]c=-a-b[/tex]
Innsatt i (1):
[tex]a^2=-b^2-ab+1[/tex]
[tex]a^2+b^2+ab=1[/tex]
Jeg skriver om dette uttrykket ved å gange opp med 2, og trikse litt, og får:
[tex](2a+b)^2+3b^2=4[/tex]
Hvilket gir at [tex]2a+b=\pm 2[/tex], [tex]b^2=0[/tex] ELLER [tex]2a+b=\pm 1[/tex], [tex]b^2=1[/tex]
Ved å sette inn disse verdiene, så ender vi opp med følgende par:
[tex]a=1,b=0,c=-1[/tex] , [tex]a=-1,b=0,c=1[/tex] , [tex]a=0,b=1,c=-1[/tex] , [tex]a=-1,b=1,c=0[/tex] , [tex]a=1,b=-1,c=0[/tex] ,
[tex]a=0,b=-1,c=1[/tex]
Min endelige konklusjon blir derfor:
[tex]a=1, b=1, c=0[/tex]
[tex]a=-1, b=-1, c=0[/tex]
[tex]a=1,b=0,c=-1[/tex]
[tex]a=-1,b=0,c=1[/tex]
[tex]a=0,b=1,c=-1[/tex]
[tex]a=-1,b=1,c=0[/tex]
[tex]a=1,b=-1,c=0[/tex]
[tex]a=0,b=-1,c=1[/tex]
(1): [tex]a^2=bc+1[/tex]
(2): [tex]b^2=ca+1[/tex]
Jeg undersøker differansen mellom den første og andre likningen:
[tex]a^2-b^2=bc+1-ca+1=bc-ac=c(b-a)[/tex]
[tex]a^2-b^2-c(b-a)=0[/tex]
[tex](a-b)(a+b)+c(a-b)=0[/tex]
[tex](a-b)(a+b+c)=0[/tex]
Produktregelen gir da at [tex]a=b[/tex] og [tex]c=-a-b[/tex]
Vi ser at det er to tilfeller vi må undersøke.
1) [tex]a=b[/tex] :
Innsatt i (2): [tex]a^2=ac+1[/tex]
Snur om, og får at:
[tex]c=a-\frac{1}{a}[/tex]
I oppgaven er det gitt at både a, b og c skal være heltall. Da mener jeg at det må stemme at [tex]\frac{1}{a}[/tex] skal være et heltall, og da er den eneste muligheten at [tex]a=\pm 1[/tex].
Dermed er [tex]a=1, b=1, c=0[/tex] ELLER [tex]a=-1, b=-1, c=0[/tex]
Til slutt har vi det andre tilfellet.
2) [tex]c=-a-b[/tex]
Innsatt i (1):
[tex]a^2=-b^2-ab+1[/tex]
[tex]a^2+b^2+ab=1[/tex]
Jeg skriver om dette uttrykket ved å gange opp med 2, og trikse litt, og får:
[tex](2a+b)^2+3b^2=4[/tex]
Hvilket gir at [tex]2a+b=\pm 2[/tex], [tex]b^2=0[/tex] ELLER [tex]2a+b=\pm 1[/tex], [tex]b^2=1[/tex]
Ved å sette inn disse verdiene, så ender vi opp med følgende par:
[tex]a=1,b=0,c=-1[/tex] , [tex]a=-1,b=0,c=1[/tex] , [tex]a=0,b=1,c=-1[/tex] , [tex]a=-1,b=1,c=0[/tex] , [tex]a=1,b=-1,c=0[/tex] ,
[tex]a=0,b=-1,c=1[/tex]
Min endelige konklusjon blir derfor:
[tex]a=1, b=1, c=0[/tex]
[tex]a=-1, b=-1, c=0[/tex]
[tex]a=1,b=0,c=-1[/tex]
[tex]a=-1,b=0,c=1[/tex]
[tex]a=0,b=1,c=-1[/tex]
[tex]a=-1,b=1,c=0[/tex]
[tex]a=1,b=-1,c=0[/tex]
[tex]a=0,b=-1,c=1[/tex]
Sist redigert av DivergenceGauss den 18/06-2016 19:04, redigert 1 gang totalt.
-
DivergenceGauss
- Fibonacci
- Innlegg: 2
- Registrert: 18/06-2016 18:00
Beklager så mye! Jeg så ikke at du kom meg i forkjøpet.Eclipse skrev:Har lite erfaring med slike oppgaver, men prøver meg likevel
[tex]\ell_1: a^2=bc+1[/tex]
[tex]\ell_2: b^2=ca+1[/tex]
[tex]a^2-b^2=(bc+1)-(ca+1)[/tex]
[tex]a^2-b^2=bc+1-ca-1 \iff a^2-b^2=c(b-a)[/tex]
[tex]a^2-b^2-(c(b-a)) \implies (a-b)(a+b+c)=0[/tex]
[tex](a-b)(a+b+c)=0[/tex] gir [tex]a-b=0 \lor a+b+c=0[/tex]
[tex]a=b \lor c=-a-b[/tex]
Setter inn [tex]a=b[/tex] i [tex]\ell_2[/tex]
[tex]b^2=ca+1 \iff a^2=ca+1 \implies c+\frac{1}{a}=a[/tex]
[tex]c=a-\frac{1}{a}[/tex], og siden vi kun er ute etter heltallsløsningene må [tex]a=\pm 1[/tex] som medfører at [tex]c=0[/tex] og siden [tex]a=b[/tex] må også [tex]b=\pm 1[/tex]
Hvis [tex]a \neq b[/tex] må [tex]c=-a-b[/tex] som vi setter inn i [tex]\ell_1[/tex] [tex]:[/tex]
[tex]a^2=b(-a-b)+1[/tex] [tex]\iff a^2=-b^2-ab+1[/tex]
[tex]a=\frac{1}{2}(\pm\sqrt{4-3b^2}-b)[/tex] der kun [tex]b=0 \lor b=1 \lor b=-1[/tex] gir heltallsløsninger.
[tex]b=0 \lor b=1 \lor b=-1[/tex] gir henholdsvis [tex]a=\pm 1, a=-1 \lor a=0, a=0 \lor a=1[/tex] og [tex]c=-1 \lor c=1, c=0 \lor c=-1, c=1 \lor c=0[/tex]
Tok sin tid, men tror jeg kom i mål, eller?
