Tall til ord-funksjonen

[Nebuchadnezzar]

Anta at vi har en funksjon $W$ som tar inn et tall og gir ut antall bokstaver i tallet. Et eksempel er

$ \hspace{1cm}
W(1) = 2
$

Siden ordet "En" har to bokstaver. Interessant nok så har funksjonen $W$ tre fikspunkt

$ \hspace{1cm}
W(2) = 2 \, , \ W(3) = 3 \, , \ W(4) = 4
$

Funksjonen $I$ tar inn en funksjon it itererer over $W$ til den når et fikspunkt. Så

$ \hspace{1cm}
I(x) = W(W( \cdots W(x) \cdots ))
$

$W(20) = 5$, $W(5) = 3$ og 3 er et fikspunkt. Med andre ord så er $I(20) = 3$. Dere får velge skrivemåte for større tall selv, (en og tyve, vs tjueen).

Men hvilket fikspunkt er det mest sannsynlig å treffe om vi setter inn et tilfeldig tall i funksjonen $I$?

[Lambs-Tykje]

Ikke noe fullstendig svar, men noen refleksjoner og en begrunnet antakelse:

Antar at det er en feil i oppgaveformuleringen når W(20) settes til 5. I så fall er det i alt tolv «stoppesteder» for I:

2: En to ni ti
3: Tre fem syv
4: Fire seks åtte tolv tjue

Alle disse stoppestedene er ikke like ofte besøkt av I. Når man har valgt et stort tall, vil f. eks. «en» eller «to» være uvirksomme som "innsamlere" til fikspunktet 2; dette fordi funksjonen allerede har blitt entydig styrt mot 2 som fikspunkt i forrige iterasjon. Jo høyrere tallverdi, jo mer effektivt er stoppestedet, antar jeg, selv om jeg ikke kan skjønne hvordan man kan vite det sikkert uten å lage et skript som tester effektiviteten til et enkelt stoppested to iterasjoner bakover fra den siste (femtitretusennihundreogåttiåtte -> trettien -> åtte) - for enda større tall bør man kunne anta at antallet bokstaver er jevnt fordelt.

Siden de firebokstavers stoppestedene inneholder de høyeste tallene (tjue er mer effektivt enn ti, tolv er mer effektivt enn ni), antar jeg at vi oftest vil treffe fikspunktet 4.