IMO shortlist funksjonallikning

[Gustav]

Finn alle $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ som tilfredsstiller $f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$ der $a,b>0$.

[Janhaa]

Finn alle $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ som tilfredsstiller $f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$ der $a,b>0$.

det kan skrives som en differenslikning på følgende måte:

[tex]X_{n+2} + aX_{n+1} - b(a+b)X_n = 0[/tex]

[Gustav]

Finn alle $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ som tilfredsstiller $f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$ der $a,b>0$.

det kan skrives som en differenslikning på følgende måte:

[tex]X_{n+2} + aX_{n+1} - b(a+b)X_n = 0[/tex]

Ja, du er inne på noe der.

[Janhaa]

Finn alle $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ som tilfredsstiller $f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$ der $a,b>0$.

det kan skrives som en differenslikning på følgende måte:
[tex]X_{n+2} + aX_{n+1} - b(a+b)X_n = 0[/tex]

Jeg klarer å løse differenslikninga, DVs:

[tex]X_n = \alpha \cdot b^n + (-\alpha - \beta)^n[/tex]

Men sliter videre med argumentasjonen. Ved inspeksjon og prøving/feiling sees:
1)
[tex]f(x) = ax[/tex]
blir LHS:
[tex]f(ax) + af(x) = 2af(x) \neq b(a+b)x[/tex]

men for:
2)
[tex]f(x) = bx[/tex]
blir LHS:
[tex]f(bx) + af(x) = bf(x) + af(x) = f(x)(a+b) = xb(a+b) = b(a+b)x[/tex]
):
LHS = RHS

[Gustav]

Differenslikninga har løsning $x_n=\alpha_1 b^n+\alpha_2 (-a-b)^n$. Vi har også at $f(x_n)=x_{n+1}$, og husk at f>0, dvs. at $x_n>0$ for alle n.

Så hva må $\alpha_2$ være for at $x_n>0$ for alle $n$?

[Janhaa]

Differenslikninga har løsning $x_n=\alpha_1 b^n+\alpha_2 (-a-b)^n$. Vi har også at $f(x_n)=x_{n+1}$, og husk at f>0, dvs. at $x_n>0$ for alle n.
Så hva må $\alpha_2$ være for at $x_n>0$ for alle $n$?

jeg mente sjølsagt:

[tex]X_n = \alpha \cdot b^n + \beta(-a - b)^n[/tex]
og dvs
$\beta=0$ for at $X_n>0$ for alle $n$
slik at vi kan skrive:
[tex]f(x)=bx[/tex]

[Gustav]

Jepp, riktig det