1. Bestem siste siffer i $7^{5^{5^5}}$.
2. Løs likningen $\frac{8}{x-8}+\frac{10}{x-6}+\frac{12}{x-4}+\frac{14}{x-2}=4$
3. Løs likningen $\sqrt{17+x-8\sqrt{x+1}}+\sqrt{5+x-4\sqrt{x+1}}=6$
4. Løs likningen $6!7!=N!$
5. La $a$ og $b$ være positive heltall slik at $8a^2+2a=3b^2-b$. Vis at både $2a+b$ og $4a-2b+1$ er kvadrater av heltall.
6. Trekanten $ABC$ er innskrevet i en sirkel. Tangenten til sirkelen i punkt $B$ er parallell med halveringslinjen til vinkelen i punkt A, og tangenten til sirkelen i punkt $A$ er parallell med halveringslinjen til vinkelen i punkt $C$. Bestem vinklene til trekanten $ABC$.
7. Hva er verdien av tallet $\frac{3^{2015}+3^{2014}}{3^{2014}-3^{2013}}$?
8. Ti venner har vært på ferie sammen. Hver dag var det høyst tre av dem som ikke
benyttet hotellets svømmebasseng, og ingen av dem har brukt bassenget samme
antall dager som noen av de andre. Dette kunne ikke latt seg gjøre hvis ferien
hadde vært en dag kortere. Hvor mange dager varte ferien?
9. Velg tilfeldig et tosifret tall, og bytt om på sifrene. Hva er sannsynligheten for at det resulterende tallet er større enn det valgte tallet?
10. Anta at $x$ og $y$ er to reelle tall slik at $xy=6$ og $x ^2y+y^2x +x+y=63$. Bestem verdien til $x^2+y^2$.
Noen øvingsoppgaver før abelkonkurransen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
1.
vet det er øvingsoppgaver, men kan man skrive:
[tex]7^5 \equiv 7\pmod{10}[/tex]
og
[tex]7^5 \equiv 7\pmod{10}[/tex]
og
[tex]7^5 \equiv 7\pmod{10}[/tex]
DVs
$7^{5^{5^5}}\equiv 7\pmod{10}$
\\\\\\\\\\\\\\
10.
[tex](x+y)[xy+1]=63[/tex]
DVs
[tex]x+y=9[/tex]
og
[tex](x+y)^2 = x^2+y^2+2xy[/tex]
altså
[tex]x^2+y^2=9^2-12=69[/tex]
vet det er øvingsoppgaver, men kan man skrive:
[tex]7^5 \equiv 7\pmod{10}[/tex]
og
[tex]7^5 \equiv 7\pmod{10}[/tex]
og
[tex]7^5 \equiv 7\pmod{10}[/tex]
DVs
$7^{5^{5^5}}\equiv 7\pmod{10}$
\\\\\\\\\\\\\\
10.
[tex](x+y)[xy+1]=63[/tex]
DVs
[tex]x+y=9[/tex]
og
[tex](x+y)^2 = x^2+y^2+2xy[/tex]
altså
[tex]x^2+y^2=9^2-12=69[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
mattemonsteret
- Pytagoras
- Innlegg: 10
- Registrert: 04/06-2013 13:26
Er det bare meg, eller var årets oppgaver veldig vanskelige? I stort sett ingen enkle algebra- eller geometrioppgaver, veldig mye tekst, veldig få standardoppgaver med enkle løsninger. Tror poenggrensene kommer til å ligger mye lavere enn tidligere år.
-
mattemonsteret
- Pytagoras
- Innlegg: 10
- Registrert: 04/06-2013 13:26
Har oppgavene, men er det lov å legge dem ut før de kommer på den offisielle siden imorgen?
Hvis du har oppgavene, så er de ikke lenger hemmelige.
-
mattemonsteret
- Pytagoras
- Innlegg: 10
- Registrert: 04/06-2013 13:26
Jeg er lærer 
Har sendt epost for å høre om jeg kan legge dem ut her nå ikveld.
Har sendt epost for å høre om jeg kan legge dem ut her nå ikveld.Regnet gjennom settet i sted.
Oppgave for oppgave:
1. Kjedelig og ikke noe god oppgave. Kun nitidig barneskoleregning.
2. Her er det jo enkel faktorisering som gjelder. Grei nok oppgave.
3. Fin oppgave, som også er veldig enkel med kunnskap tilsvarende 1T
4. Liker egentlig ikke slike oppgaver der løsningen er ingen mulig konklusjon.
5. Rimelig vanskelig til å være en så tidlig oppgave(?). Jeg regnet direkte ut sannsynlighetene for at P vinner, Q vinner og uavgjort. Antar denne er litt kjip for førsteklassinger.
6. Syns denne oppgaven er mindre god. Løses lett med et kjent resultat fra R1.
7. Massive mengder tekst. Oppgaven handler mest om å transformere all teksten til matematikk. Svært enkel når man først har gjort det.
8. Denne syns jeg var fin. Løste den ved å innføre en ukjent x som tilsvarte siden DE, og summerte deretter sidene, slik at x forsvant i summen.
9. Grei oppgave dette også. Ok vanskelighetsgrad etter mitt skjønn.
10. Ikke noe glad i slike typer oppgaver. Litt tidkrevende og lite spennende.
11. Løste den ved en slags inspeksjon. Ingen muligheter rundt tallet 100, så inspiserte tallene rundt 1000 og 1100 og fant rimelig fort svaret.
12. Her er jo trikset å beregne det motsatte, så antar denne er ok.
13. Syns denne var en fin oppgave som løses ved noen ulikhetsbetraktninger.
14. Likte denne oppgaven! Løste den annerledes enn fasiten, ved å forlenge BC slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus BC. Dermed får vi en 2.gradslikning ved bruk av pytagoras.
15. Fin oppgave med passende nivå.
16. Fin oppgave dette også. Litt mer bokføring og fakultetssjonglering.
17. Krevende vil jeg tro. En av de vanskeligste oppgavene i settet, men fin for å skille ut de beste
18. Alternativ løsning til fasiten: $2017\cdot 3<\log_{10} 2016^{2017}=2017\log 2016<2017\cdot 4$. Da er det klart at $S(S(2016^{2017}))=4$
19. Fin oppgave. Her presterte jeg å tabbe meg ut. Gikk rett i fella og beregnet avstanden via det ene hjørnet i den lille kuben:-(
20. Denne rakk jeg ikke se på innenfor de 100 minuttene.
Hvor mange poeng får du, stensrud? Vil tro du lett tok de første 16, og også 18+19. 17 og 20 er vel kanskje de vanskeligste etter mitt skjønn. Selvsagt meget fort gjort å gjøre slurvefeil når det er litt tidsnød. (Jeg fikk, fra sofaen hjemme, 17 av 20 riktige innenfor 100 min. Gjorde en slurvefeil på 19, og rakk ikke å se godt nok på 17 og 20 før tida gikk ut. )
Alt i alt tror jeg nivået var noe høyere på endel av de tidlige oppgaven, sammenlignet med tidligere. Så det kan godt hende at mattemonsteret har rett i antagelsen om at poenggrensen blir noe lavere enn tidligere. Syns det stort sett var fine oppgaver, kanskje med unntak av problemene 6 og 7. Syns også det var unødvendig med to problem av typen 1 og 10.
Oppgave for oppgave:
1. Kjedelig og ikke noe god oppgave. Kun nitidig barneskoleregning.
2. Her er det jo enkel faktorisering som gjelder. Grei nok oppgave.
3. Fin oppgave, som også er veldig enkel med kunnskap tilsvarende 1T
4. Liker egentlig ikke slike oppgaver der løsningen er ingen mulig konklusjon.
5. Rimelig vanskelig til å være en så tidlig oppgave(?). Jeg regnet direkte ut sannsynlighetene for at P vinner, Q vinner og uavgjort. Antar denne er litt kjip for førsteklassinger.
6. Syns denne oppgaven er mindre god. Løses lett med et kjent resultat fra R1.
7. Massive mengder tekst. Oppgaven handler mest om å transformere all teksten til matematikk. Svært enkel når man først har gjort det.
8. Denne syns jeg var fin. Løste den ved å innføre en ukjent x som tilsvarte siden DE, og summerte deretter sidene, slik at x forsvant i summen.
9. Grei oppgave dette også. Ok vanskelighetsgrad etter mitt skjønn.
10. Ikke noe glad i slike typer oppgaver. Litt tidkrevende og lite spennende.
11. Løste den ved en slags inspeksjon. Ingen muligheter rundt tallet 100, så inspiserte tallene rundt 1000 og 1100 og fant rimelig fort svaret.
12. Her er jo trikset å beregne det motsatte, så antar denne er ok.
13. Syns denne var en fin oppgave som løses ved noen ulikhetsbetraktninger.
14. Likte denne oppgaven! Løste den annerledes enn fasiten, ved å forlenge BC slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus BC. Dermed får vi en 2.gradslikning ved bruk av pytagoras.
15. Fin oppgave med passende nivå.
16. Fin oppgave dette også. Litt mer bokføring og fakultetssjonglering.
17. Krevende vil jeg tro. En av de vanskeligste oppgavene i settet, men fin for å skille ut de beste
18. Alternativ løsning til fasiten: $2017\cdot 3<\log_{10} 2016^{2017}=2017\log 2016<2017\cdot 4$. Da er det klart at $S(S(2016^{2017}))=4$
19. Fin oppgave. Her presterte jeg å tabbe meg ut. Gikk rett i fella og beregnet avstanden via det ene hjørnet i den lille kuben:-(
20. Denne rakk jeg ikke se på innenfor de 100 minuttene.
Hvor mange poeng får du, stensrud? Vil tro du lett tok de første 16, og også 18+19. 17 og 20 er vel kanskje de vanskeligste etter mitt skjønn. Selvsagt meget fort gjort å gjøre slurvefeil når det er litt tidsnød. (Jeg fikk, fra sofaen hjemme, 17 av 20 riktige innenfor 100 min. Gjorde en slurvefeil på 19, og rakk ikke å se godt nok på 17 og 20 før tida gikk ut. )
Alt i alt tror jeg nivået var noe høyere på endel av de tidlige oppgaven, sammenlignet med tidligere. Så det kan godt hende at mattemonsteret har rett i antagelsen om at poenggrensen blir noe lavere enn tidligere. Syns det stort sett var fine oppgaver, kanskje med unntak av problemene 6 og 7. Syns også det var unødvendig med to problem av typen 1 og 10.
Neida, oppgave 17 og 20 og sånn gikk fint, men jeg gjorde tre (!) regnefeil på de første jallaoppgavene, så det blir 85 totalt.
Det virker som om de prøver å velge ut de med litt olympiadeerfaring med de oppgavene de valgte: Både mediansetningen, AM-HM-ulikheten og invarianter ble testet, og oppgaver som 15 er triks som flere sikkert har sett før. Av de siste oppgavene likte jeg 17 og 19 godt, synes 16 og 18 var litt i enkleste laget, mens oppgave 20 var helt ok; man ser jo raskt at det bare gjelder å finne en invariant, men det å faktisk finne den er ikke helt trivielt.
Mulig grensa blir lav i år, har ihvertfall hørt om flere med en realistisk sjanse på 100 poeng som endte opp på 70 og 80. Men selv om det kanskje var vanskeligere å score 90-100 så kan det fort være mange rundt 60, så det er vanskelig å gjette.
Oppgave 17 kunne løses slik: Hvis begge starter med å gå forover er det klart at Anna i sum ender opp med å gå bakover (og litt til en av sidene). Derfor er forholdet vi er ute etter mindre enn 1, og da er eneste mulighet alternativ A.
Det virker som om de prøver å velge ut de med litt olympiadeerfaring med de oppgavene de valgte: Både mediansetningen, AM-HM-ulikheten og invarianter ble testet, og oppgaver som 15 er triks som flere sikkert har sett før. Av de siste oppgavene likte jeg 17 og 19 godt, synes 16 og 18 var litt i enkleste laget, mens oppgave 20 var helt ok; man ser jo raskt at det bare gjelder å finne en invariant, men det å faktisk finne den er ikke helt trivielt.
Mulig grensa blir lav i år, har ihvertfall hørt om flere med en realistisk sjanse på 100 poeng som endte opp på 70 og 80. Men selv om det kanskje var vanskeligere å score 90-100 så kan det fort være mange rundt 60, så det er vanskelig å gjette.
Oppgave 17 kunne løses slik: Hvis begge starter med å gå forover er det klart at Anna i sum ender opp med å gå bakover (og litt til en av sidene). Derfor er forholdet vi er ute etter mindre enn 1, og da er eneste mulighet alternativ A.