Finn punktene [VGS]

[Drezky]

Finn mengden av punktene [tex](x,y)[/tex] som har dobbelt så stor avstand til punktet [tex]A(3,0)[/tex] som til origo.

[mingjun]

Håper på å finne en synthetisk løsning for problemet. Men i mellomtiden: her er en algebraisk løsning

Man kan formulere punktet $P=(x,y)$, som oppfyller kravene slik:

$ PO=\sqrt{x^2+y^2}$, $PA=\sqrt{(x-3)^2+y^2}$

Ut i fra $2PO=PA$ (PA er dobbelt så langt som PO), vet vi at:

$2\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-3)^2+y^2}$

Kvadrerer vi begge sidene og flytter litt, får vi:

$3x^2+6x+3y^2=9$

Deler 3 på begge sder

$x^2+2x+y^2=3$

Vi kan komplettere kvadratet med hensyn til x:

$(x+1)^2+y^2=4$

Og dettte gjenkjenner vi som en sirkel med radius $\sqrt{4}=2$ med sentrum i $(-1,0)$

Også kan vi sette inn vårt resultat inn i de orginale kravene for å se at de oppfylles.

Q.E.D.?

[Drezky]

Håper på å finne en synthetisk løsning for problemet. Men i mellomtiden: her er en algebraisk løsning

Man kan formulere punktet $P=(x,y)$, som oppfyller kravene slik:

$ PO=\sqrt{x^2+y^2}$, $PA=\sqrt{(x-3)^2+y^2}$

Ut i fra $2PO=PA$ (PA er dobbelt så langt som PO), vet vi at:

$2\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-3)^2+y^2}$

Kvadrerer vi begge sidene og flytter litt, får vi:

$3x^2+6x+3y^2=9$

Deler 3 på begge sder

$x^2+2x+y^2=3$

Vi kan komplettere kvadratet med hensyn til x:

$(x+1)^2+y^2=4$

Og dettte gjenkjenner vi som en sirkel med radius $\sqrt{4}=2$ med sentrum i $(-1,0)$

Også kan vi sette inn vårt resultat inn i de orginale kravene for å se at de oppfylles.

Q.E.D.?

Jepp =)

[stensrud]

En syntetisk løsning: La $O$ denotere origo ($A$ er fortsatt punktet $(3,0)$), og merk at de to punktene $X=(1,0)$ og $Y=(-3,0)$ trivielt tilfredsstiller betingelsene, samtidig som de ligger på $OA$.

$\mathbf{Lemma \ 1:}$ Hvis $P$ er et vilkårlig punkt som også tilfredsstiller betingelsene så vil $PX$ halvere $\angle OPA$.
$\mathit{Bevis:}$ La vinkelhalveringslinjen til $\angle OPA$ møte $OA$ i $X'$. Da gir halveringslinjesetningen at $AX/OX=2=AP/OP=AX'/OX'$, og da må $X'=X$.

$\mathbf{Lemma \ 2:}$ La $\ell$ være en linje, og $Q$ et punkt som ikke ligger på linja. La $D,E,F,G$ ligge i denne rekkefølgen på $\ell$. Da er følgende ekvivalente:

1. $QF$ halverer $\angle EQG$ og $\angle DQF=90^\circ$.
2. $(D,F;E,G)=-1$, som betyr at $(D,E,F,G)$ er en harmonisk kvadruppel, eller ekvivalent, at $DF/DG\div EF/EG=-1$ (hvor lengdene regnes med fortegn).

Jeg beviser ikke dette her, men man kan gjøre det uten for mye styr for eksempel ved hjelp av sinussetningen og/eller arealsetingen. Med dette vet vi nok til å finne den ønskede punktmengden:

$\mathbf{Lemma \ 3:}$ Den ønskede punktmengden er sirkelen med diameter $XY$.
$\mathit{Bevis:}$ La $P$ igjen være et vilkårlig punkt som tilfredsstiller betingelsene, og la linja som står vinkelrett på $XP$ møte $OA$ i $Y'$. Da er $(Y',O,X,A)$ en harmonisk kvadruppel ifølge lemma 2, men det er også $(Y,O,X,A)$ (lett å sjekke gitt definisjonen), så $Y'=Y$. Dette betyr at $\angle YPX=90^\circ$ for alle $P$ som tilfredsstiller betingelsene, og vi er ferdige.

Er i godt nok humør til å legge ved en figur i dag:

app.png (18.5 kiB) Vist 5102 ganger

[Drezky]

En syntetisk løsning: La $O$ denotere origo ($A$ er fortsatt punktet $(3,0)$), og merk at de to punktene $X=(1,0)$ og $Y=(-3,0)$ trivielt tilfredsstiller betingelsene, samtidig som de ligger på $OA$.

$\mathbf{Lemma \ 1:}$ Hvis $P$ er et vilkårlig punkt som også tilfredsstiller betingelsene så vil $PX$ halvere $\angle OPA$.
$\mathit{Bevis:}$ La vinkelhalveringslinjen til $\angle OPA$ møte $OA$ i $X'$. Da gir halveringslinjesetningen at $AX/OX=2=AP/OP=AX'/OX'$, og da må $X'=X$.

$\mathbf{Lemma \ 2:}$ La $\ell$ være en linje, og $Q$ et punkt som ikke ligger på linja. La $D,E,F,G$ ligge i denne rekkefølgen på $\ell$. Da er følgende ekvivalente:

1. $QF$ halverer $\angle EFG$ og $\angle DQF=90^\circ$.
2. $(D,F;E,G)=-1$, som betyr at $(D,E,F,G)$ er en harmonisk kvadruppel, eller ekvivalent, at $DF/DG\div EF/EG=-1$ (hvor lengdene regnes med fortegn).

Jeg beviser ikke dette her, men man kan gjøre det uten for mye styr for eksempel ved hjelp av sinussetningen og/eller arealsetingen. Med dette vet vi nok til å finne den ønskede punktmengden:

$\mathbf{Lemma \ 3:}$ Den ønskede punktmengden er sirkelen med diameter $XY$.
$\mathit{Bevis:}$ La $P$ igjen være et vilkårlig punkt som tilfredsstiller betingelsene, og la linja som står vinkelrett på $XP$ møte $OA$ i $Y'$. Da er $(Y',O,X,A)$ en harmonisk kvadruppel ifølge lemma 2, men det er også $(Y,O,X,A)$ (lett å sjekke gitt definisjonen), så $Y'=Y$. Dette betyr at $\angle YPX=90^\circ$ for alle $P$ som tilfredsstiller betingelsene, og vi er ferdige.

Er i godt nok humør til å legge ved en figur i dag:

app.png

Hahaha, konge! Hva er egentlig en syntetisk løsning, og hvorfor ønsker vi å finne en? (snakker generelt)

[stensrud]

Hahaha, konge! Hva er egentlig en syntetisk løsning, og hvorfor ønsker vi å finne en? (snakker generelt)

Godt spørsmål! Tl;dr: Man får bedre intuisjon med syntetiske løsninger.

(Tilgi meg for ordrikheten.) En syntetisk løsning er kort og greit bare en løsning som bruker linjer linjer, sirkler og trekanter og slikt i motsetning til analytiske løsninger som bruker koordinater (for eksempel kartesiske og barysentriske) og/eller andre teknikker som komplekse tall eller trigonometri.

Begge deler er fullverdige løsninger, men syntetiske bevis er ansett (ihvertfall blant deltagere i matematikkonkurranser) som mer "pure". Som regel kan man finne en løsning som bruker analytiske teknikker ganske raskt, men de tar som oftest lang tid å gjennomføre pga. mye regning. Syntetiske løsninger tar gjerne litt lengre tid å finne, men er oftere mer elegante i tillegg til at de viser mer innsikt i konfigurasjonen, slik som i oppgaven her:

Man ser ganske raskt at man bare kan kjøre på med avstandsformelen, og så regne litt, men jeg påstår at det er ganske vanskelig å finne den syntetiske løsningen (Jeg var heldig som kjente til Apolloniske sirkler fra før av, og derfra endret jeg litt på det generelle beviset til å passe denne situasjonen. Det er ganske urimelig å komme på en slik løsning under en konkurranse eller på kort tid hvis du ikke kjenner til projektiv geometri fra før av, og hvis du gjør det, så kjenner du mest sannsylig til dette teoremet uansett). I tillegg fikk vi noen ikke-trivielle vinkelhalveringslinjer ut fra det syntetiske beviset, noe vi ikke fikk i det analytiske.

I norsk skole lærer man primært analytisk geometri, og noe av grunnen er vel at det ikke kreves noe særlig innsikt for å slenge inn noen vektorer og regne litt, eller bruke CAS til å løse stygge likninger. Selv om koordinatgeometri har sine bruksområder og er noe man absolutt burde kjenne til, så sliter norske elever i matematikkonkurranser nettopp fordi de ikke kan syntetisk geometri. Løsningen blir da gjerne en slags hybrid: Man løser noen deler av oppgaven syntetisk, og resten med koordinater eller trigonometri.

Hovedfordelen med syntetiske løsninger er at man beviser noen ekstra ting, slik som ovenfor, som kan være nyttige å vite når man skal løse andre oppgaver. På denne måten utvider man kunnskapen sin med hver oppgave man gjør og hver teknikk man lærer, og får etterhvert haugevis med triks som er knyttet sammen på kryss og tvers. I tillegg blir det hele mye mer visuelt, og med trening så kan man på flere måter "føle" hvordan en konfigurasjon oppfører seg, og hvordan den vil "reagere" hvis du prøver å bruke for eksempel power of a point. Dette forklarer hvorfor geometri bare blir mer og mer interessant etterhvert som du lærer og gjør mer og mer av det, og det er også det som gjør det så sykt vanskelig...

[Drezky]

Hahaha, konge! Hva er egentlig en syntetisk løsning, og hvorfor ønsker vi å finne en? (snakker generelt)

Godt spørsmål! Tl;dr: Man får bedre intuisjon med syntetiske løsninger.

(Tilgi meg for ordrikheten.) En syntetisk løsning er kort og greit bare en løsning som bruker linjer linjer, sirkler og trekanter og slikt i motsetning til analytiske løsninger som bruker koordinater (for eksempel kartesiske og barysentriske) og/eller andre teknikker som komplekse tall eller trigonometri.

Begge deler er fullverdige løsninger, men syntetiske bevis er ansett (ihvertfall blant deltagere i matematikkonkurranser) som mer "pure". Som regel kan man finne en løsning som bruker analytiske teknikker ganske raskt, men de tar som oftest lang tid å gjennomføre pga. mye regning. Syntetiske løsninger tar gjerne litt lengre tid å finne, men er oftere mer elegante i tillegg til at de viser mer innsikt i konfigurasjonen, slik som i oppgaven her:

Man ser ganske raskt at man bare kan kjøre på med avstandsformelen, og så regne litt, men jeg påstår at det er ganske vanskelig å finne den syntetiske løsningen (Jeg var heldig som kjente til Apolloniske sirkler fra før av, og derfra endret jeg litt på det generelle beviset til å passe denne situasjonen. Det er ganske urimelig å komme på en slik løsning under en konkurranse eller på kort tid hvis du ikke kjenner til projektiv geometri fra før av, og hvis du gjør det, så kjenner du mest sannsylig til dette teoremet uansett). I tillegg fikk vi noen ikke-trivielle vinkelhalveringslinjer ut fra det syntetiske beviset, noe vi ikke fikk i det analytiske.

I norsk skole lærer man primært analytisk geometri, og noe av grunnen er vel at det ikke kreves noe særlig innsikt for å slenge inn noen vektorer og regne litt, eller bruke CAS til å løse stygge likninger. Selv om koordinatgeometri har sine bruksområder og er noe man absolutt burde kjenne til, så sliter norske elever i matematikkonkurranser nettopp fordi de ikke kan syntetisk geometri. Løsningen blir da gjerne en slags hybrid: Man løser noen deler av oppgaven syntetisk, og resten med koordinater eller trigonometri.

Hovedfordelen med syntetiske løsninger er at man beviser noen ekstra ting, slik som ovenfor, som kan være nyttige å vite når man skal løse andre oppgaver. På denne måten utvider man kunnskapen sin med hver oppgave man gjør og hver teknikk man lærer, og får etterhvert haugevis med triks som er knyttet sammen på kryss og tvers. I tillegg blir det hele mye mer visuelt, og med trening så kan man på flere måter "føle" hvordan en konfigurasjon oppfører seg, og hvordan den vil "reagere" hvis du prøver å bruke for eksempel power of a point. Dette forklarer hvorfor geometri bare blir mer og mer interessant etterhvert som du lærer og gjør mer og mer av det, og det er også det som gjør det så sykt vanskelig...

Dette var inspirerende! Kan innrømme at jeg ikke forstod alt ved det syntetiske beviset ovenfor da det til tider ble svært innfløkt....