Julekalender - luke 1

[Gustav]

La $\triangle ABC$ være likebeint og rettvinklet (se figuren) med $AC=BC=x$, og $\angle ACB=90^\circ$. $A$ og $B$ er sentrum i sirkler med radius $x$. Finn arealet av det skraverte området uttrykt ved $x$.

[Janhaa]

Trur det blir:
[tex]A(sirkel)=\pi*x^2[/tex]

kvartsirkel[tex]\,\,A_1=\frac{\pi*x^2}{4}[/tex]

[tex]A(kvadrat)=A_2=x^2[/tex]

[tex]A(rest)=A_3=\pi*x^2- A_1[/tex]

[tex]2A_3=2x^2-\frac{\pi*x^2}{2}[/tex]

[tex]2A(skravert)=A_2 - 2A_3=x^2-(2x^2-\frac{\pi*x^2}{2})[/tex]


[tex]A(skravert)=\frac{\pi*x^2}{4}\,-\,\frac{x^2}{2}[/tex]

[DennisChristensen]

Enig med Janhaa.
Vi ser fra illustrasjonen at

La $A_1$ være arealet av det skraverte området og la $A_2$ være arealet til hver av de resterende uskraverte områdene.

Vi har at
$$\begin{cases} A_1 + 2A_2 = \text{areal}(\triangle ABC) = \frac{1}{2}x^2 \\ A_1 + A_2 = \text{areal}(\frac{1}{8}\text{-dels sirkel, radius }x) = \frac{\pi\cdot x^2}{8}\end{cases}$$

Dermed får vi at
$$A_1 = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)x^2.$$

[Gustav]

Selvsagt riktig!