matematikk.net

Linjestykkene DE og FG er parallelle med AB. Områdene CDE, DFGE og FABG har like store areal. Bestem forholdet $\frac{CD}{FA}$

sqr3 +sqr2

Flott initiativ med Julekalenderen!

Siden $\triangle{ABC}\sim\triangle{FGC}\sim\triangle{DEC}$ finner vi at
\[\frac{AC}{CD}=\sqrt{\frac{\operatorname{Areal}(\triangle{ABC})}{\operatorname{Areal}(\triangle{CDE})}}=\sqrt3 \]
og tilsvarende
\[\frac{FC}{CD}=\sqrt{\frac{\operatorname{Areal}(\triangle{CFG})}{\operatorname{Areal}(\triangle{CDE})}}=\sqrt2 . \]
Dermed er
\[\frac{CD}{FA}=\frac{CD}{AC-FC}=\frac1{\frac{AC}{CD}-\frac{FC}{CD}}=\frac1{\sqrt3-\sqrt2}=\sqrt3+\sqrt2 .\]