Del tallet 3 i to

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

La X og Y være reelle tall slik at X+Y= 3, og at hver sum nedenfor er et helt tall. Viss X og Y hverken er 0 eller 1, hvilket tall er da X og Y?

Men blant desimalene i X og Y kan 0 og 1 forekomme.

[tex]X^{2}+Y^{2}[/tex] = helt tall
[tex]X^{3}+Y^{3}[/tex] = helt tall
[tex]X^{4}+Y^{4}[/tex] = helt tall
[tex]X^{5}+Y^{5}[/tex] = helt tall
osv.

Finn X og Y
Gjest

Planen er:
1. Hvis likningene stemmer, får vi at [tex]xy[/tex] er et heltall (vi skriver [tex]xy\in \mathbb{Z}[/tex])
2. Hvis vi vet at [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] tilfredsstiller at både [tex]x+y[/tex] og [tex]xy[/tex] er et heltall, så betyr det at det er en løsning som stemmer for alle likningene ([tex]x^n+y^n\in \mathbb{Z}[/tex]).
3. Finne alle gyldige løsninger!

1. La
[tex]x^n+y^n=S_n \in \mathbb{Z}, \ n\in \mathbb{N}[/tex]
Der
[tex]S_1=x+y=3[/tex]
Vi får
[tex]S_2=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=S_1^2-2xy[/tex]
Det betyr at [tex]P=2xy\in \mathbb{Z}[/tex] og vi kan skrive [tex]xy=\frac{P}{2}[/tex].
Vi har også
[tex]S_4=x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=S_2^2-2(\frac{P}{2})^2=S_2^2-\frac{P^2}{2}[/tex]
Det betyr at [tex]\frac{P^2}{2}\in \mathbb{Z}[/tex] og derfor må [tex]P[/tex] et partall. Vi vet derfor at [tex]\frac{P}{2}=xy=R\in \mathbb{Z}[/tex]

2. Dersom både [tex]x+y[/tex] og [tex]xy[/tex] er heltall får vi at alle [tex]x^n+y^n[/tex] er heltall. Dette fordi:
[tex]S_n=x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})=S_1 \cdot S_{n-1}-R \cdot S_{n-2}[/tex]
Så [tex]S_n[/tex] er et heltall som følge av induksjon.

3. Derfor ser vi etter reelle tall [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] som tilfredsstiller likningssettet
[tex]x+y=3[/tex]
[tex]xy=R \in \mathbb{Z}[/tex]

Ved innsettning
[tex]x(3-x)=R[/tex]
[tex]x^2-3x+R=0[/tex]

Ved abc-formelen
[tex]x=\frac{3\pm \sqrt{9-4R}}{2}[/tex]
[tex]y=3-x=3-\frac{3\pm \sqrt{9-4R}}{2}=\frac{3\mp \sqrt{9-4R}}{2}[/tex]

Merk at [tex]R\leq 2[/tex].
Svar