matematikk.net

Gitt:

[tex]y=\sqrt{x +\sqrt{x + \sqrt{x+...}}}[/tex]

finn

[tex]dy/dx = y '[/tex]

Nå går jeg bare ut på en tangent her, men hvis vi sier at [tex]g(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}\dots}}[/tex] og vi ser for oss at [tex]g(x)^=\sqrt{x+(\sqrt{x+\sqrt{x}\dots})}[/tex]

Kan vi ikke da si at [tex]g(x)=\sqrt{g(x)+x}\Leftrightarrow g(x)^2-g(x)-x=0\Leftrightarrow g(x)=\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}[/tex] så tar vi g'(x) og får [tex]g'(x)=(\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2})'=\frac{1}{2}(\frac{d}{dx}1+\frac{d}{dx}\sqrt{1+4x})=\frac{1}{2}(\frac{2}{\sqrt{1+4x}})=\frac{1}{\sqrt{1+4x}}[/tex]

Ser bra ut dette! Alternativt ser vi at $y^2=x+y$, så implisittderivasjon gir at $2yy'=1+y'$, så $y'=\frac{1}{2y-1}=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+...}}-1}$