Gammelt putnam-problem

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Anta at $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ og $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ er ikke-konstante, deriverbare funksjoner. Anta videre at $f$ og $g$ tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$ og $g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)$ for alle $x,y$.

Dersom $f'(0)=0$, vis at $f(x)^2+g(x)^2=1$ for alle $x$.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

plutarco skrev:Anta at $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ og $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ er ikke-konstante, deriverbare funksjoner. Anta videre at $f$ og $g$ tilfredsstiller $f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$ og $g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)$ for alle $x,y$.

Dersom $f'(0)=0$, vis at $f(x)^2+g(x)^2=1$ for alle $x$.
$f$ og $g$ er deriverbare, så vi kan derivere likningene implisitt med hensyn på $x$ for å få at $$f'(x+y) = f'(x)f(y) - g'(x)g(y)$$ og at $$g'(x+y) = f'(x)g(y) + g'(x)f(y).$$

Setter vi inn $x=0$ får vi at for alle $y$, $$f'(y) = f'(0)f(y) - g'(0)g(y) = -g'(0)g(y)$$ og at $$g'(y) = f'(0)g(y) + g'(0)f(y) = g'(0)f(y).$$

Dermed ser vi at $$\frac{d}{dx}\left(f(x)^2 + g(x)^2 - 1\right) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x) = -2g'(0)f(x)g(x) + g'(0)f(x)g(x) = 0,$$ så vi vet at $f(x)^2 + g(x)^2 - 1$ er konstant.


Lemma: $f(0) = 1$ og $g(0) = 0$.

Bevis: Vi setter $x=y=0$ og ser at $f(0) = f(0)^2 - g(0)^2$ og $g(0) = 2f(0)g(0)$. Hvis $f(0) = 0$ sier likning 2 at $g(0)=0$, og hvis $f(0) \neq 0$ sier den at $g(0) = 2g(0)$, så vi konkluderer med at $g(0) = 0$. Dermed sier likning 1 at $f(0) = f(0)^2$, så $f(0) = 0$ eller $f(0) = 1$.

Derimot om vi nå setter $y=0$ sier likning 1 at $f(x) = f(x)f(0) - 0 = f(x)f(0)$, så vi må ha $f(0) = 1.\text{ }\text{ } \checkmark$

Dermed har vi at $f(0)^2 + g(0)^2 - 1 = 0$, så den konstante verdien for $f(x)^2 + g(x)^2 - 1$ må være $0$. Dermed er $f(x)^2 + g(x)^2 = 1$ for alle $x$.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Flott! Jeg løste den helt likt med deg :D
Svar