Geometri

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Geometri

Innlegg mingjun » 25/03-2017 12:20

I en trekant $ABC$ skjærer høyden fra $A$ linjen $BC$ i punktet $D$. Speilbildene av $D$ om sidene $AB$ og $AC$ kaller vi henholdsvis $E$ og $F$. La $O_1$ være omsentret til trekanten $ABC$, og $O_2$ være omsentret til trekanten $O_1EF$. Vis at $O_1$, $O_2$, og $A$ ligger på linje.

trekant.png
trekant.png (9.14 KiB) Vist 1079 ganger



(Omsentret til en trekant $ABC$ er sentret til den omskrevne sirkelen av trekanten $ABC$, altså et punkt med samme distanse til alle tre hjørnene av trekanten)
mingjun offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Bosted: Det projektive planet

Re: Geometri

Innlegg stensrud » 26/03-2017 11:42

La $H$ og $O$ være henholdsvis ortosenteret og omsenteret til $\triangle ABC$. Det holder å vise at $OA$ halverer $EF$, og siden $AE=AF$ som følge av konstruksjonen trenger vi bare å vise at $AO$ halverer $\angle EAF$. Fordi $O$ og $H$ er isogonale konjugater er
\[ \angle EAO=\angle EAB+\angle BAO=\angle BAH+\angle HAC=\angle BAC, \]
og helt tilsvarende vises det at $\angle OAF=\angle BAC$. Vi er ferdige.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Geometri

Innlegg mingjun » 26/03-2017 11:49

Ikke verst!
mingjun offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Bosted: Det projektive planet

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 5 gjester