matematikk.net

I en trekant $ABC$ skjærer høyden fra $A$ linjen $BC$ i punktet $D$. Speilbildene av $D$ om sidene $AB$ og $AC$ kaller vi henholdsvis $E$ og $F$. La $O_1$ være omsentret til trekanten $ABC$, og $O_2$ være omsentret til trekanten $O_1EF$. Vis at $O_1$, $O_2$, og $A$ ligger på linje.

(Omsentret til en trekant $ABC$ er sentret til den omskrevne sirkelen av trekanten $ABC$, altså et punkt med samme distanse til alle tre hjørnene av trekanten)

La $H$ og $O$ være henholdsvis ortosenteret og omsenteret til $\triangle ABC$. Det holder å vise at $OA$ halverer $EF$, og siden $AE=AF$ som følge av konstruksjonen trenger vi bare å vise at $AO$ halverer $\angle EAF$. Fordi $O$ og $H$ er isogonale konjugater er
\[ \angle EAO=\angle EAB+\angle BAO=\angle BAH+\angle HAC=\angle BAC, \]
og helt tilsvarende vises det at $\angle OAF=\angle BAC$. Vi er ferdige.

Ikke verst!