Leningrad 1988

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

La $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ være kontinuerlig, med $f(x)\cdot f(f(x))=1\, \forall x\in\mathbb{R}$. Dersom $f(1000)=999$, finn $f(500)$.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Vi bruker den andre betingelsen til å få $f(1000)f(f(1000))=1\iff f(999)=\frac{1}{999}$. Siden $999,\frac{1}{999}\in \operatorname{Im} f$ og $f$ er kontinuerlig så er også $500 \in \operatorname{Im} f$. Men
\[ f(x)f(f(x))=1\forall x\in \mathbb{R}\iff f(y)=\frac1y\forall y\in \operatorname{Im} f, \]
så $f(500)=\frac{1}{500}$.

Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers.
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

stensrud skrev:Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers.
Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

mingjun skrev:Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.
Du har rett, skal være $f(x)=1/999$ når $x$ er større enn $999$.
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

:D :D
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

stensrud skrev:
mingjun skrev:Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\neq999$.
Du har rett, skal være $f(x)=1/999$ når $x$ er større enn $999$.
Men ifølge oppgaven er f(1000)=999
mingjun
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Sted: Det projektive planet

Nå synes jeg vi er litt for slem mot stenstrud her. :lol:
Svar