Kontinuerlig funksjon

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

La $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ være kontinuerlig og anta at $$\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \text{ }\text{ for }\text{ }n=0,1,2,\dots$$ Vis at $f(t) = 0$ for alle $t\in[0,1]$.
Sist redigert av DennisChristensen den 30/04-2017 20:30, redigert 1 gang totalt.
ComradeHulaHula

Kan det være så greit som

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]

Da har vi at for enhver n så er t^n begrensa, altså

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt \leq M \int_0^n f(t) dt = 0[/tex]

Og følgelig så må f(t) = 0 for alle t i intervallet.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

ComradeHulaHula skrev:Kan det være så greit som

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]

Da har vi at for enhver n så er t^n begrensa, altså

[tex]\int_0^1 t^n f(t) dt \leq M \int_0^n f(t) dt = 0[/tex]

Og følgelig så må f(t) = 0 for alle t i intervallet.
Usikker på hva du mener her.

$t^n$ er begrenset på intervallet $[0,1]$, ja, så $|\int_0^1t^nf(t) dt| \leq \int |f(t)| dt$. Ser ikke hvordan du får ulikheten du har skrevet opp. Hvor kommer dessuten skiftet i integrasjonsområdet fra, og hvordan får du at $\int_0^n f(t) dt = 0$?

Dessuten stemmer det jo ikke at $$\forall n\in\mathbb{N}_{\geq 1} \int_0^n f(t) dt = 0 \implies f = 0.$$ Se for eksempel på $f(t) = \sin(2\pi t)$.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

DennisChristensen skrev:La $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ være kontinuerlig og anta at $$\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \text{ }\text{ for }\text{ }n=1,2,\dots$$ Vis at $f(t) = 0$ for alle $t\in[0,1]$.
Skal ikke også n=0 være inkludert?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

plutarco skrev:
DennisChristensen skrev:La $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ være kontinuerlig og anta at $$\int_0^1 t^n f(t) dt = 0 \text{ }\text{ for }\text{ }n=1,2,\dots$$ Vis at $f(t) = 0$ for alle $t\in[0,1]$.
Skal ikke også n=0 være inkludert?
Oops! Ja, det skal det! Endret det nå.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Fra Stone-Weierstrass fins en følge $p_n(t)$ av polynomer som konvergerer uniformt mot $f(t)$. Dermed blir $0=\lim_{n\to\infty} \int_0^1 p_n(t)f(t)\,dt=\int_0^1 \lim_{n\to\infty}p_n(t)f(t)\,dt)=\int_0^1 f^2(t)\,dt\Rightarrow f(t)\equiv 0$
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

plutarco skrev:Fra Stone-Weierstrass fins en følge $p_n(t)$ av polynomer som konvergerer uniformt mot $f(t)$. Dermed blir $0=\lim_{n\to\infty} \int_0^1 p_n(t)f(t)\,dt=\int_0^1 \lim_{n\to\infty}p_n(t)f(t)\,dt)=\int_0^1 f^2(t)\,dt\Rightarrow f(t)\equiv 0$
Nettopp! Brukte også Stone-Weierstrass.
Svar