To integraler

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

To integraler

Innlegg stensrud » 21/05-2017 16:23

Oppgave 1 (STEP 2016). Regn ut
\[ \int_0^{\frac14 \pi} \frac{x}{\cos x(\cos x+\sin x)}\ dx. \]

Oppgave 2 Regn ut
\[ \int_0^{\frac14 \pi} \frac{x}{\cos x(\cos x+\sin x)+ \frac{\sqrt{2}-1}{2}}\ dx. \]
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: To integraler

Innlegg Nebuchadnezzar » 21/05-2017 17:46

Kan ta første, tror andre kan løses tilsvarende med litt mer magi. Kruxet ligger i å bruke delvis integrasjon slik at integralet kan skrives på en mer kjent form. La

$ \hspace{1cm}
u = x \quad
$ og $\quad v' = \cfrac{1}{\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{1/\cos^2x}{1 + \tan x}$



$ \hspace{1cm}
\int_0^{\pi/4} \frac{x}{\cos^2x(1 + \tan x)} \,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/4} \log( 1 + \tan x ) \,\mathrm{d}x
$

Dette er et veldig kjent sinus integral og har vært på flere putnam-eksamener. Ved å bruke at $\int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{a} f(a-x)$ så har vi $\int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_0^a f(x) + f(a-x)\,\mathrm{d}x $. Dermed så har vi

$
\int_0^{\pi/4} \log( 1 + \tan x ) \,\mathrm{d}x
= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \log \left( [ 1 + \tan x ]\cdot [1 + \tan( \frac{\pi}{4} - x )]\right) = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \log 2 \,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} \log 2
$

Som var det som skulle vises.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5504
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: To integraler

Innlegg stensrud » 21/05-2017 18:06

Nebuchadnezzar skrev:Løsning

Jepp, flotters. Legger ved en alternativ løsning på første oppgave:

Vi bruker $\int_0^af(x)\ dx=\int_0^af(a-x)\ dx$ med en gang, slik at
\[I=\int_0^{\frac14 \pi}\frac{x}{\cos x(\cos x+\sin x)}\ dx=\int_0^{\frac14 \pi}\frac{\frac14\pi - x}{\cos x(\cos x+\sin x)}\ dx ,\]
og følgelig
\[ I=\frac18\pi\int_0^{\frac14\pi}\frac{1}{\cos x(\cos x+\sin x)}\ dx=\frac18\pi\int_0^{\frac14\pi}\frac{\sec^2 x}{1+\tan x} \ dx. \]
Det siste er på formen $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx$, så en substitusjon $u=1+\tan x$ gjør jobben.

Godt mulig at andre oppgave også kan løses ved delvis, men jeg håper ikke det går like lett som første ;)
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: To integraler

Innlegg Nebuchadnezzar » 21/05-2017 19:07

Hvordan får du til det? PRøvde selv den fremgangsmåten men fikk ikke teller til å bli lik siden $\cos(\pi/4-x) \neq \cos x$
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5504
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: To integraler

Innlegg stensrud » 21/05-2017 19:32

Nebuchadnezzar skrev:Hvordan får du til det? PRøvde selv den fremgangsmåten men fikk ikke teller til å bli lik siden $\cos(\pi/4-x) \neq \cos x$

Parentesene bytter bare roller:
\[ \cos\left(\frac14\pi-x\right)\left(\cos\left(\frac14\pi-x\right)+\sin\left(\frac14\pi-x\right)\right)=\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x \right)\left( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x \right)\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)(\sqrt{2}\cos x)=\cos x(\cos x+\sin x). \]
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: To integraler

Innlegg Nebuchadnezzar » 21/05-2017 19:56

Smart!
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5504
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: To integraler

Innlegg stensrud » 23/05-2017 11:31

Forslag til løsning på integral nummer to:

Som tidligere, merk at
\[ I=\int_0^{\frac14 \pi} \frac{x}{\cos x(\cos x+\sin x)+ \frac{\sqrt{2}-1}{2}}\ dx=\int_0^{\frac14 \pi} \frac{\frac14\pi -x}{\cos x(\cos x+\sin x)+ \frac{\sqrt{2}-1}{2}}\ dx, \]
så vi legger sammen og får
\[ I=\frac18\pi \int_0^{\frac14 \pi} \frac{1}{\cos x(\cos x+\sin x)+ \frac{\sqrt{2}-1}{2}}\ dx.\]
Formler for dobbelte vinkler gir
\[ \cos(\cos +\sin x)=\cos^2x+\cos x\sin x=\frac12(\cos 2x+\sin 2x+1), \]
og derfor
\[ I=\frac18\pi \int_0^{\frac14 \pi} \frac{1}{\frac12(\cos 2x+\sin 2x+1)+\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\ dx=\frac14\pi\int_0^{\frac14 \pi} \frac{1}{\cos 2x+\sin 2x+ \sqrt{2}}\ dx. \]
Vi trekker sammen $\cos$ og $\sin$ på følgende måte: $\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac14\pi\right)$, slik at
\[ I=\frac14\pi\int_0^{\frac14\pi}\frac{1}{\sqrt{2}\left(\sin\left(2x+\frac14\pi\right)+1\right)}\ dx=\frac{1}{4\sqrt{2}}\pi\int_0^{\frac14\pi}\frac{\sin\left(2x+\frac14\pi\right)-1}{\sin^2\left(2x+\frac14\pi\right)-1}\ dx. \]
Med et lite variableskifte ser alt litt penere ut; $2x+\frac14 \pi\to x$:
\[ I=\frac{1}{8\sqrt{2}}\pi\int_{\frac14 \pi}^{\frac34\pi}\frac{\sin x-1}{\sin^2 x-1}\ dx= \frac{1}{8\sqrt{2}}\pi\int_{\frac14 \pi}^{\frac34\pi}\frac{\sin x-1}{-\cos^2x}\ dx=\frac{1}{8\sqrt{2}}\pi\int_{\frac14 \pi}^{\frac34\pi}\sec^2x-\tan x\sec x\ dx.\]
Nå står vi igjen med kjente uttrykk, og trenger bare å gjøre noen siste utregninger:
\[ I=\frac{1}{8\sqrt{2}}\pi\left[ \tan x-\sec x \right]_{\frac14\pi}^{\frac34\pi}=\frac{\pi(2-\sqrt{2})}{8}\approx 0.23 . \]
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester