matematikk.net

a) Finnes det en partisjon av $\mathbb{Z}$ i tre ikketomme mengder $A,B$ og $C$ slik at $A+B,B+C$ og $C+A$ alle er parvis disjunkte?
b) Finnes det en partisjon av $\mathbb{Q}$ i tre ikketomme mengder $A,B$ og $C$ slik at $A+B,B+C$ og $C+A$ alle er parvis disjunkte?

Merk: Her denoterer $X+Y$ mengden $\{ x+y : x \in X, y \in Y \}$.

Jeg får bare til a) her.

Hvis vi partisjonerer $\mathbb Z$ modulo 3, så får vi tre disjunkte mengder. Lar vi

$$A = \{ x | x \equiv 0 \pmod 3 \}$$
$$B = \{ x | x \equiv 1 \pmod 3 \}$$
$$C = \{ x | x \equiv 2 \pmod 3 \}$$

får vi tre disjunkte mengder.

Summene blir da $A+B = B, \ \ B+C = A, \ \ C+A = C$ som følgelig også er disjunkte.

Eller, det ser i alle fall sånn ut på arket mitt...

b-oppgaven ser litt verre ut.

Aleks855 skrev:Jeg får bare til a) her.

Hvis vi partisjonerer $\mathbb Z$ modulo 3, så får vi tre disjunkte mengder. Lar vi

$$A = \{ x | x \equiv 0 \pmod 3 \}$$
$$B = \{ x | x \equiv 1 \pmod 3 \}$$
$$C = \{ x | x \equiv 2 \pmod 3 \}$$

får vi tre disjunkte mengder.

Summene blir da $A+B = B, \ \ B+C = A, \ \ C+A = C$ som følgelig også er disjunkte.

Eller, det ser i alle fall sånn ut på arket mitt...

b-oppgaven ser litt verre ut.

Jepp, riktig. Et hint til b-oppgaven: Er konstruksjonen for a) unik (opp til isomorfi)?