matematikk.net

La $x,y,z$ and $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $a+b+c=1$. Vis at
$$\displaystyle \left(x^2+y^2+z^2\right) \left( \frac{a^3}{x^2+2y^2} + \frac{b^3}{y^2+2z^2} + \frac{c^3}{z^2+2x^2} \right) ~\ge~~ \frac19$$

stensrud skrev:La $x,y,z$ and $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $a+b+c=1$. Vis at
$$\displaystyle \left(x^2+y^2+z^2\right) \left( \frac{a^3}{x^2+2y^2} + \frac{b^3}{y^2+2z^2} + \frac{c^3}{z^2+2x^2} \right) ~\ge~~ \frac19$$

Legger merke til at $3(x^2+y^2+z^2) =(x^2+2y^2)+(y^2+2z^2)+(z^2+2x^2)$. Cauchy-Schwarz gir da at $3\left(x^2+y^2+z^2\right) \left( \frac{a^3}{x^2+2y^2} + \frac{b^3}{y^2+2z^2} + \frac{c^3}{z^2+2x^2} \right)\geq (a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32})^2$

Gjenstår å vise at $(a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32})^2\geq \frac13$ dersom $a+b+c=1$:

La $f(x)=x^{\frac32}$, som er konveks for positive x utfra utregning av den andrederiverte. Jensens ulikhet gir da at

$\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\geq f(\frac{a+b+c}{3})$, altså at

$a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32}\geq \frac{1}{3^{\frac12}}$, som er ekvivalent med det vi skulle vise, så vi er ferdige.

hvordan kan dette betegnes som en snill ulikhet. Er jo ikke VGS pensum i det presenterte løsningsforslaget.
Cauchy-Schwarz er ikke akkurat pensum i VGS

Gjest skrev:hvordan kan dette betegnes som en snill ulikhet. Er jo ikke VGS pensum i det presenterte løsningsforslaget.
Cauchy-Schwarz er ikke akkurat pensum i VGS

Ingen som sa at dette var en ulikhet fra VGS pensum.

plutarco skrev:Løsning

Jepp, løste den likt selv. Oppgaven er fra Middelhavsolympiaden i år.

Gjest skrev:hvordan kan dette betegnes som en snill ulikhet. Er jo ikke VGS pensum i det presenterte løsningsforslaget.
Cauchy-Schwarz er ikke akkurat pensum i VGS

Det er nok flere vgs-elever enn du tror som kan Cauchy-Schwarz.

Innså nettopp at jeg hadde mer eller mindre samme bevis som plutarco, men poster likevel fordi jeg er bitte litt stolt.

Anta wlog at $x^2+y^2+z^2=1$, i hvilket tilfelle vi trenger å vise:

\[\sum_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{x^2+2y^2}\right)\geq \dfrac{1}{9}.\]

Ved Cauchy-Schwarz:

\[\left(\sum_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{x^2+2y^2}\right)\right)\left(\sum_{cyc}\left(x^2+2y^2\right)\right)\geq\left(a^\frac{3}{2}+b^\frac{3}{2}+c^\frac{3}{2}\right)^2.\]

Ved power means:

\[\left(\dfrac{a^\frac{3}{2}+b^\frac{3}{2}+c^\frac{3}{2}}{3}\right)^\frac{2}{3}\geq\dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{1}{3}\]
\[\Rightarrow \left(a^\frac{3}{2}+b^\frac{3}{2}+c^\frac{3}{2}\right)^2 \geq \dfrac{1}{3}.\]

Vår orginale begrensning $x^2+y^2+z^2=1$ gir oss:

\[\sum_{cyc}\left(x^2+2y^2\right)=3.\]

Dersom vi gjør innsettingene får vi den ønskede ulikheten.

Edit: liten skrivefeil

Power mean ulikheten er vel bare et spesialtilfelle av Jensen.

Alternativt kunne man brukt Holders ulikhet.