IMO funksjonal

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

IMO funksjonal

Innlegg Gustav » 25/07-2017 14:57

Finn alle $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$ for alle $x,y$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: IMO funksjonal

Innlegg Janhaa » 25/07-2017 19:00

plutarco skrev:Finn alle $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$ for alle $x,y$.

Jeg er sjefs-amatør når det gjelder disse oppgavene, men synes funksjonal likninger er fascinerende.

Etter mye prøving, feiling og kladd, satte jeg f(x) = f(y) og derfor er vel f(x) injektiv !?

Videre satte jeg: x = 0, y = 0 og x = 1, y = 0 og x = 0 og y = 1 etc.

En åpenbar løsning er nok[tex]\,f(x) = 0,[/tex] og trolig [tex]\,f(x) = x - 1 \,\,og \,\, f(x) = 1 - x?[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7770
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: IMO funksjonal

Innlegg Janhaa » 25/07-2017 20:17

Mer formelt, antar lineær funksjon/løsning;

[tex]f(x) = ax + b[/tex]

[tex]f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)[/tex]
=>
lar [tex]\,y = x[/tex]

[tex]f(f(x)f(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]

[tex]f(f^2(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]

[tex](a(ax+b)^2+b) + (a(2x)+b) = ax^2+ b[/tex]

[tex]a((ax)^2 + 2abx + b^2) + b + 2ax + b = ax^2 + b[/tex]

[tex]a^3x^2 + (2a^2b+2a)x + (ab^2+2b) = ax^2 + b[/tex]

Sammenlikner koeffisienter;

[tex]a^3 = a[/tex]

[tex]a = \pm 1[/tex]

[tex]ab^2+2b = b[/tex]


[tex]b(ab+1) = 0[/tex]

[tex]b = 0[/tex]
eller
[tex]b= −1/a[/tex]
og
[tex]2a^2b+2a = 0[/tex]

[tex]2a(ab+1) = 0[/tex]

[tex]b = −1/a[/tex]

[tex]a = 1, b = −1[/tex]
og
[tex]a = −1, b = 1[/tex]
endelig:

[tex]f(x) = x − 1[/tex]
og
[tex]f(x) = 1 − x[/tex]

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Setter:
f(x) = C
f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)
C + C = C
2C = C
C = 0
dvs:

[tex]f(x) = 0[/tex]
funker
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7770
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: IMO funksjonal

Innlegg Gustav » 25/07-2017 20:29

Du har vel ikke bevist at det ikke fins flere enn lineære løsninger her, så løsningen er uansett ikke fullstendig.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: IMO funksjonal

Innlegg Janhaa » 25/07-2017 20:51

plutarco skrev:Du har vel ikke bevist at det ikke fins flere enn lineære løsninger her, så løsningen er uansett ikke fullstendig.

Hmmm...så streng du er =)

hvis vi antar polynom funksjon:

[tex]g = ax^n+bx^{n-1}[/tex]

[tex]n \geq 2[/tex]

så vil LHS:

[tex]a^{2n+1}x^{2n^2}[/tex]
og
RHS:

[tex]ax^{2n}[/tex]

DVs
Vi har:
[tex]f(x) = 0[/tex]

[tex]f(x)= x-1[/tex]

[tex]f(x)=1-x[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7770
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: IMO funksjonal

Innlegg stensrud » 04/08-2017 21:28

Hovedpoengene er å gjøre de vanlige innsettingene, og deretter vise at $f$ er injektiv. Hadde en annerledes måte å vise injektivitet på enn den offisielle løsningen, som jeg begynte å skrive ned her. Av en eller annen grunn så ble det plutselig borte, og jeg kommer ikke til å skrive det igjen, så her er en skisse: (For tilfellet $f(0)\neq 0$). Anta at $f(a)=f(b)$. Man kan vise at $f(a-b)=f(b-a)$, og hvis vi har resultatet $f(x)+f(-x)=2$ fra før av, så får vi $f(a-b)=1$. Det siste steget er å vise at $f(z)=1\implies z=0$, som ikke er krise vanskelig.

Det var en del artige og umotiverte innsettinger, og det er det som gjør oppgaven ganske vanskelig. Det er også mye som kan fungere, men som antageligvis ikke gjør det. Likevel er det hintet ganske sterkt mot å vise injektivitet (alt er omringet av $f$), så med litt erfaring med funksjonallikninger er det helt klart en gjørbar IMO oppgave 2. Hvordan løste du den plutarco?
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 11 gjester