Side 1 av 1

IMO funksjonal

Lagt inn: 25/07-2017 15:57
av Gustav
Finn alle $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$ for alle $x,y$.

Re: IMO funksjonal

Lagt inn: 25/07-2017 20:00
av Janhaa
plutarco skrev:Finn alle $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$ for alle $x,y$.
Jeg er sjefs-amatør når det gjelder disse oppgavene, men synes funksjonal likninger er fascinerende.

Etter mye prøving, feiling og kladd, satte jeg f(x) = f(y) og derfor er vel f(x) injektiv !?

Videre satte jeg: x = 0, y = 0 og x = 1, y = 0 og x = 0 og y = 1 etc.

En åpenbar løsning er nok[tex]\,f(x) = 0,[/tex] og trolig [tex]\,f(x) = x - 1 \,\,og \,\, f(x) = 1 - x?[/tex]

Re: IMO funksjonal

Lagt inn: 25/07-2017 21:17
av Janhaa
Mer formelt, antar lineær funksjon/løsning;

[tex]f(x) = ax + b[/tex]

[tex]f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)[/tex]
=>
lar [tex]\,y = x[/tex]

[tex]f(f(x)f(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]

[tex]f(f^2(x)) + f(2x) = f(x^2)[/tex]

[tex](a(ax+b)^2+b) + (a(2x)+b) = ax^2+ b[/tex]

[tex]a((ax)^2 + 2abx + b^2) + b + 2ax + b = ax^2 + b[/tex]

[tex]a^3x^2 + (2a^2b+2a)x + (ab^2+2b) = ax^2 + b[/tex]

Sammenlikner koeffisienter;

[tex]a^3 = a[/tex]

[tex]a = \pm 1[/tex]

[tex]ab^2+2b = b[/tex]


[tex]b(ab+1) = 0[/tex]

[tex]b = 0[/tex]
eller
[tex]b= −1/a[/tex]
og
[tex]2a^2b+2a = 0[/tex]

[tex]2a(ab+1) = 0[/tex]

[tex]b = −1/a[/tex]

[tex]a = 1, b = −1[/tex]
og
[tex]a = −1, b = 1[/tex]
endelig:

[tex]f(x) = x − 1[/tex]
og
[tex]f(x) = 1 − x[/tex]

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Setter:
f(x) = C
f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)
C + C = C
2C = C
C = 0
dvs:

[tex]f(x) = 0[/tex]
funker

Re: IMO funksjonal

Lagt inn: 25/07-2017 21:29
av Gustav
Du har vel ikke bevist at det ikke fins flere enn lineære løsninger her, så løsningen er uansett ikke fullstendig.

Re: IMO funksjonal

Lagt inn: 25/07-2017 21:51
av Janhaa
plutarco skrev:Du har vel ikke bevist at det ikke fins flere enn lineære løsninger her, så løsningen er uansett ikke fullstendig.
Hmmm...så streng du er =)

hvis vi antar polynom funksjon:

[tex]g = ax^n+bx^{n-1}[/tex]

[tex]n \geq 2[/tex]

så vil LHS:

[tex]a^{2n+1}x^{2n^2}[/tex]
og
RHS:

[tex]ax^{2n}[/tex]

DVs
Vi har:
[tex]f(x) = 0[/tex]

[tex]f(x)= x-1[/tex]

[tex]f(x)=1-x[/tex]

Re: IMO funksjonal

Lagt inn: 04/08-2017 22:28
av stensrud
Hovedpoengene er å gjøre de vanlige innsettingene, og deretter vise at $f$ er injektiv. Hadde en annerledes måte å vise injektivitet på enn den offisielle løsningen, som jeg begynte å skrive ned her. Av en eller annen grunn så ble det plutselig borte, og jeg kommer ikke til å skrive det igjen, så her er en skisse: (For tilfellet $f(0)\neq 0$). Anta at $f(a)=f(b)$. Man kan vise at $f(a-b)=f(b-a)$, og hvis vi har resultatet $f(x)+f(-x)=2$ fra før av, så får vi $f(a-b)=1$. Det siste steget er å vise at $f(z)=1\implies z=0$, som ikke er krise vanskelig.

Det var en del artige og umotiverte innsettinger, og det er det som gjør oppgaven ganske vanskelig. Det er også mye som kan fungere, men som antageligvis ikke gjør det. Likevel er det hintet ganske sterkt mot å vise injektivitet (alt er omringet av $f$), så med litt erfaring med funksjonallikninger er det helt klart en gjørbar IMO oppgave 2. Hvordan løste du den plutarco?