matematikk.net

Bestem alle funksjoner $f$ for alle reele tall til reele tall, forskjellig fra roten til en likning(zero function). Slik at


$f(x)f(y)=f(x-y)$ for alle reele tall $x$ og $y$

Kjemikern skrev:Bestem alle funksjoner $f$ for alle reele tall til reele tall, forskjellig fra roten til en likning(zero function). Slik at
$f(x)f(y)=f(x-y)$ for alle reele tall $x$ og $y$

setter:

[tex]f(x)=e^x[/tex]
og
[tex]f(y)=e^{-y}[/tex]
der
$f(x)f(y)=e^xe^{-y}=e^{x-y}=f(x-y)$

så enkelt?

Janhaa skrev:

Kjemikern skrev:Bestem alle funksjoner $f$ for alle reele tall til reele tall, forskjellig fra roten til en likning(zero function). Slik at
$f(x)f(y)=f(x-y)$ for alle reele tall $x$ og $y$

setter:

[tex]f(x)=e^x[/tex]
og
[tex]f(y)=e^{-y}[/tex]
der
$f(x)f(y)=e^xe^{-y}=e^{x-y}=f(x-y)$

så enkelt?

Har ingen løsning på den, men ser ikke noe feil.

Janhaa skrev:

Kjemikern skrev:Bestem alle funksjoner $f$ for alle reele tall til reele tall, forskjellig fra roten til en likning(zero function). Slik at
$f(x)f(y)=f(x-y)$ for alle reele tall $x$ og $y$

setter:

[tex]f(x)=e^x[/tex]
og
[tex]f(y)=e^{-y}[/tex]
der
$f(x)f(y)=e^xe^{-y}=e^{x-y}=f(x-y)$

så enkelt?

Om [tex]f(x)=e^x[/tex] så må [tex]f(y)=e^{y}[/tex] siden du forandrer bare innput, det er den samme funksjonen.

Kjemikern skrev:Bestem alle funksjoner $f$ for alle reele tall til reele tall, forskjellig fra roten til en likning(zero function). Slik at


$f(x)f(y)=f(x-y)$ for alle reele tall $x$ og $y$

Setter vi først $y=0$ får vi at $f(x)f(0) = f(x).$ ettersom $f$ ikke er identisk lik $0$ kan vi velge $x\in\mathbb{R}$ slik at $f(x)\neq 0$, og vi får at $f(0) = 1.$
Videre setter vi $x=y$ og ser at $f(x)^2 = f(0) = 1$ for alle $x\in\mathbb{R}$. Dermed vet vi at for alle $x$ har vi enten $f(x) = \pm 1$ (men $f$ er ikke nødvendigvis konstant).
Ved å sette $x=0$ ser vi at $f(y) = f(-y)$ for alle $y\in\mathbb{R}$, så vi kan til slutt sette $x = -y$ for å se at $f(2x) = f(x - (-x)) = f(x)f(-x) = f(x)^2 > 0,$ så nødvendigvis må $f(x) = 1$ for alle $x \in\mathbb{R}.$

Janhaa skrev: setter:

[tex]f(x)=e^x[/tex]
og
[tex]f(y)=e^{-y}[/tex]
der
$f(x)f(y)=e^xe^{-y}=e^{x-y}=f(x-y)$

så enkelt?

Slik Audunss påpeker er dette feil. Dersom $f(x) = e^x$ får vi for eksempel at $$f(1)f(1) = e^1e^1=e^{1+1} = e^2 \neq 1 =e^0= e^{1-1} = f(1-1),$$ så likningen er ikke tilfredsstilt.

DennisChristensen skrev:
Setter vi først $y=0$ får vi at $f(x)f(0) = f(x).$ ettersom $f$ ikke er identisk lik $0$ kan vi velge $x\in\mathbb{R}$ slik at $f(x)\neq 0$, og vi får at $f(0) = 1.$
Videre setter vi $x=y$ og ser at $f(x)^2 = f(0) = 1$ for alle $x\in\mathbb{R}$. Dermed vet vi at for alle $x$ har vi enten $f(x) = \pm 1$ (men $f$ er ikke nødvendigvis konstant).
Ved å sette $x=0$ ser vi at $f(y) = f(-y)$ for alle $y\in\mathbb{R}$, så vi kan til slutt sette $x = -y$ for å se at $f(2x) = f(x - (-x)) = f(x)f(-x) = f(x)^2 > 0,$ så nødvendigvis må $f(x) = 1$ for alle $x \in\mathbb{R}.$

Fin løsning!