Side 1 av 1

artig oppgave

InnleggSkrevet: 05/08-2017 19:58
Janhaa
Gitt:

[tex]\large f(x^x)=\sqrt[x^{x+1}]{x^{x^{2x+2}}}[/tex]

og

[tex]f(x^x+1)=3125[/tex]

finn:

[tex]\sqrt{f(x+2)}[/tex]

Re: artig oppgave

InnleggSkrevet: 26/08-2017 18:31
Solar Plexsus
Vi har gitt en funksjon $f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ som tilfredsstiller

$(1) \;\; f(x^x) = \sqrt[x^{x+1}]{x^{x^{2x+2}}}$

og

$(2) \;\; f(x^x+1) = 3125$.

Vi skal beregne $\sqrt{f(x+2)}$.

Ved å kombinere formelen $\sqrt[n]{m} = x^{\frac{m}{n}}$ med (1), blir resultatet

$f(x^x) = x^{\frac{x^{2x+2}}{x^{x+1}}} = x^{x^{x+1}}$

som via formelen $(x^m)^n = x^{mn}$ gir

$(3) \;\; f(x^x) = (x^{x})^{x^x}$.

Ved å sette $y = x^x = g(x)$, får vi via (3) at

$(4) \;\; f(y) = y^y$.

Det faktum at $g'(x) = (1 + \ln x) x^x > 0$ når ${\textstyle x > \frac{1}{e}}$ innebærer at $g$ er kontinuerlig og strengt voksende i intervallet $({\textstyle \frac{1}{e}, \infty)}$. Altså er $f(y) = y^y$ en bijektiv funksjon i $({\textstyle \frac{1}{e}, \infty)}$. Dette kombinert med (2) gir

$f(y + 1) = f(x^x+1) = 3125 = 5^5 = (4+1)^{4+1}$,

som betyr at $y=4$. Altså er $x^x = 4 = 2^2$, i.e. $x=2$. Dermed blir

$\sqrt{f(x+2)} = \sqrt{f(2+2)} = \sqrt{f(4)} = \sqrt{4^4} = 4^{\frac{4}{2}} = 4^2 = \underline{\underline{16}}$.

Re: artig oppgave

InnleggSkrevet: 27/08-2017 14:24
Janhaa
Solar Plexsus skrev:Vi har gitt en funksjon $f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ som tilfredsstiller$(1) \;\; f(x^x) = \sqrt[x^{x+1}]{x^{x^{2x+2}}}$
og
$(2) \;\; f(x^x+1) = 3125$.
Vi skal beregne $\sqrt{f(x+2)}$.
Ved å kombinere formelen $\sqrt[n]{m} = x^{\frac{m}{n}}$ med (1), blir resultatet
$f(x^x) = x^{\frac{x^{2x+2}}{x^{x+1}}} = x^{x^{x+1}}$
som via formelen $(x^m)^n = x^{mn}$ gir
$(3) \;\; f(x^x) = (x^{x})^{x^x}$.
Ved å sette $y = x^x = g(x)$, får vi via (3) at
$(4) \;\; f(y) = y^y$.
Det faktum at $g'(x) = (1 + \ln x) x^x > 0$ når ${\textstyle x > \frac{1}{e}}$ innebærer at $g$ er kontinuerlig og strengt voksende i intervallet $({\textstyle \frac{1}{e}, \infty)}$. Altså er $f(y) = y^y$ en bijektiv funksjon i $({\textstyle \frac{1}{e}, \infty)}$. Dette kombinert med (2) gir
$f(y + 1) = f(x^x+1) = 3125 = 5^5 = (4+1)^{4+1}$,
som betyr at $y=4$. Altså er $x^x = 4 = 2^2$, i.e. $x=2$. Dermed blir
$\sqrt{f(x+2)} = \sqrt{f(2+2)} = \sqrt{f(4)} = \sqrt{4^4} = 4^{\frac{4}{2}} = 4^2 = \underline{\underline{16}}$.

pent..