matematikk.net

Gitt:

[tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]

[tex]\frac{f(x+1)+f(x-1)}{\sqrt{3}}= f(x)[/tex]

bestem så summen, S:

[tex]S=\frac{f(13)}{f(1)}+\frac{f(14)}{f(2)}+\frac{f(15)}{f(3)}+...+\frac{f(2013)}{f(2001)}[/tex]

Vi har gitt en funksjon $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ som for alle $x \in \mathbb{R}$ tilfredsstiller funksjonallikningen

$(1) \;\; f(x + 2) + f(x) = \sqrt{3} f(x+1)$.

Formel (1) gir

$f(x+4) + f(x+2) = \sqrt{3} f(x+3) = \sqrt{3} \: (\sqrt{3}f(x+2) – f(x+1))$,

i.e.

$(2) \;\; f(x+4) - 2 f(x+2) = - \sqrt{3}f(x+1)$.

Ved å legge sammen (1) og (2) får vi

$(3) \;\; f(x+4) + f(x) = f(x+2)$.

Av (3) følger at

$(4) \;\; f(x+6) + f(x+2) = f(x+4)$.

Summerer vi (3) og (4), blir resultatet

$(5) \;\; f(x+6) = -f(x)$.

Ved hjelp av (5) finner vi at

$(6) \;\; f(x+12) = -f(x+6)$.

Gjennom å kombinere (5) og (6) kommer vi fram til at

$(7) \;\; f(x+12) = f(x)$.

Dermed får vi at

$S = \frac{f(13)}{f(1)} + \frac{f(14)}{f(2)} + \frac{f(15)}{f(3)} + \ldots + \frac{f(2013)}{f(2001)} = \sum_{x=1}^{2001} \frac{f(x+12)}{f(x)} = \sum_{x=1}^{2001} \frac{f(x)}{f(x)} = \sum_{x=1}^{2001} 1 = \underline{\underline{2001}}$.

Solar Plexsus skrev:Vi har gitt en funksjon $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ som for alle $x \in \mathbb{R}$ tilfredsstiller funksjonallikningen
$(1) \;\; f(x + 2) + f(x) = \sqrt{3} f(x+1)$.
Formel (1) gir
$f(x+4) + f(x+2) = \sqrt{3} f(x+3) = \sqrt{3} \: (\sqrt{3}f(x+2) – f(x+1))$,
i.e.
$(2) \;\; f(x+4) - 2 f(x+2) = - \sqrt{3}f(x+1)$.
Ved å legge sammen (1) og (2) får vi
$(3) \;\; f(x+4) + f(x) = f(x+2)$.
Av (3) følger at
$(4) \;\; f(x+6) + f(x+2) = f(x+4)$.
Summerer vi (3) og (4), blir resultatet
$(5) \;\; f(x+6) = -f(x)$.
Ved hjelp av (5) finner vi at
$(6) \;\; f(x+12) = -f(x+6)$.
Gjennom å kombinere (5) og (6) kommer vi fram til at
$(7) \;\; f(x+12) = f(x)$.
Dermed får vi at
$S = \frac{f(13)}{f(1)} + \frac{f(14)}{f(2)} + \frac{f(15)}{f(3)} + \ldots + \frac{f(2013)}{f(2001)} = \sum_{x=1}^{2001} \frac{f(x+12)}{f(x)} = \sum_{x=1}^{2001} \frac{f(x)}{f(x)} = \sum_{x=1}^{2001} 1 = \underline{\underline{2001}}$.

takker og bukker for bidraget ditt.