Integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Integral

Innlegg Kay » 13/08-2017 21:15

Løs

[tex]I=\int \sqrt{(tanh(x))}[/tex]
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 557
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral

Innlegg MatIsa » 13/08-2017 22:42

La $u = \sqrt{\tanh(x)}$, slik at ${\mathrm d}u = \dfrac{(1-\tanh^2(x))}{2\sqrt{\tanh(x)}}{\mathrm d}x = \dfrac{1-u^4}{2u}{\mathrm d}x$. Dette gir
$$\begin{align*}
I &= \int u\left(\dfrac{2u}{1-u^4}{\mathrm d}u\right)\\
&= \int\dfrac{2u^2}{1-u^4}{\mathrm d}u\\
&= -\int\dfrac{(u^2 + 1) + (u^2 - 1)}{u^4-1}{\mathrm d}u\\
&= -\int\dfrac{1}{u^2-1}{\mathrm d}u-\int\dfrac{1}{u^2+1}{\mathrm d}u\\
\end{align*}$$
Her er $$\int\dfrac{1}{u^2-1}{\mathrm d}u = \dfrac12\int\dfrac{u+1-(u-1)}{u^2-1}{\mathrm d}u = \dfrac12\int\left(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1}\right){\mathrm d}u = \dfrac12\ln\left|\dfrac{u-1}{u+1}\right|$$
og $$\int\dfrac{1}{u^2+1}{\mathrm d}u = \arctan(u).$$
Dermed er $$I = \dfrac12 \ln\left|\dfrac{u+1}{u-1}\right| - \arctan(u) = \dfrac12 \ln\left|\dfrac{\sqrt{\tanh(x)}+1}{\sqrt{\tanh(x)}-1}\right| - \arctan\left(\sqrt{\tanh(x)}\right)+C$$
MatIsa offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 11:09
Bosted: Trondheim

Re: Integral

Innlegg Kay » 14/08-2017 00:02

MatIsa skrev:La $u = \sqrt{\tanh(x)}$, slik at ${\mathrm d}u = \dfrac{(1-\tanh^2(x))}{2\sqrt{\tanh(x)}}{\mathrm d}x = \dfrac{1-u^4}{2u}{\mathrm d}x$. Dette gir
$$\begin{align*}
I &= \int u\left(\dfrac{2u}{1-u^4}{\mathrm d}u\right)\\
&= \int\dfrac{2u^2}{1-u^4}{\mathrm d}u\\
&= -\int\dfrac{(u^2 + 1) + (u^2 - 1)}{u^4-1}{\mathrm d}u\\
&= -\int\dfrac{1}{u^2-1}{\mathrm d}u-\int\dfrac{1}{u^2+1}{\mathrm d}u\\
\end{align*}$$
Her er $$\int\dfrac{1}{u^2-1}{\mathrm d}u = \dfrac12\int\dfrac{u+1-(u-1)}{u^2-1}{\mathrm d}u = \dfrac12\int\left(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1}\right){\mathrm d}u = \dfrac12\ln\left|\dfrac{u-1}{u+1}\right|$$
og $$\int\dfrac{1}{u^2+1}{\mathrm d}u = \arctan(u).$$
Dermed er $$I = \dfrac12 \ln\left|\dfrac{u+1}{u-1}\right| - \arctan(u) = \dfrac12 \ln\left|\dfrac{\sqrt{\tanh(x)}+1}{\sqrt{\tanh(x)}-1}\right| - \arctan\left(\sqrt{\tanh(x)}\right)+C$$



Såvidt jeg ser, ser det fint ut det der. Kjekk løsning.

Et alternativ er [tex]\frac{2u^2}{1-u^4}=\frac{1}{1-u^2}-\frac{1}{1+u^2}[/tex] slik at vi kunne ha sagt at [tex]\int \frac{1}{1-u^2}=arctanh(u)[/tex] og [tex]\int \frac{1}{1+u^2}=arctan(u)[/tex]

Som i alt gir [tex]tanh^{-1}(\sqrt{tanh(x)})-tan^{-1}(\sqrt{tanh(x)})+C[/tex]
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 557
Registrert: 13/06-2016 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 16 gjester