Side 2 av 2

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 02/11-2017 22:39
Markus
plutarco skrev:2. Finn alle reelle tallpar (x,y) slik at $2x=x^2+y^2$ og $y=xy$


Vi observerer at $y=xy$ kun har løsning når:
$(1) \enspace \enspace x=0$ og $y=0$
$(2) \enspace \enspace x=1$ og $y =$ et vilkårlig tall
$(3) \enspace \enspace x=$ et vilkårlig tall og $y=0$

Vi sjekker når disse løsningene passer inn med $2x=x^2+y^2$

$(0, 0) \enspace \rightarrow \enspace 2\cdot 0 = 0^2+0^2 \Rightarrow 0=0 \enspace \checkmark$
$(1, $vilkårlig tall$) \enspace \rightarrow \enspace 2 \cdot 1 = 1^2 + y^2 \Rightarrow 2-1 = y^2 \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y = \{-1,1 \}$
$($vilkårlig tall$, 0) \enspace \rightarrow \enspace 2x = x^2 + 0^2 \Rightarrow x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = \{0,2 \}$

Vi har altså fire tallpar som oppfyller likningene: $(0,0), \, (1,-1), \, (1,1), \, (2,0)$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 02/11-2017 23:14
Markus
plutarco skrev:3. Dersom

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$ og
$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=2$

Bestem verdien av $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$



Setter $y=5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$

Vi kan skrive $x_1$ som $1-x_2-x_3-x_4-x_5$, $x_2$ som $1-x_1-x_3-x_4-x_5$ osv. Vi har da at;

$y = 5(1-x_2-x_3-x_4-x_5) + 4(1-x_1-x_3-x_4-x_5) + 3(1-x_1-x_2-x_4-x_5) + 2(1-x_1-x_2-x_3-x_5) + (1-x_1-x_2-x_3-x_4)$

$y = 15 - 10x_1 - 11x_2 - 12x_3 - 13x_4 - 14x_5$

Vi observerer at hvis vi legger til $9 \cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$, som vi vet er lik 1, får vi $-(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)$ som vi vet er lik $2$.

$y + 9\cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) = 15 - 10x_1 - 11x_2 - 12x_3 - 13x_4 - 14x_5 + 9\cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$

$y + 9 \cdot 1 = 15 -(x_1+2x_2+3x_3+4x_5+5x_5)$

$y + 9 = 15 - 2$

$y = 4$

Altså er $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5 = 4$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 03/11-2017 09:48
OYV
Alternativ løsning:

Har valgt å "øremerke" de to ligningene med henholdsvis alfa og beta (har ikke tilgang til det greske alfabetet på min PC )
Siden vi her har å gjøre med et underbestemt ligningssett ( 2 ligninger og 5 ukjente ) , må det påfølgende uttrykket
være en lineærkombinasjon av V.S. i alfa og beta for at problemet skal være løsbart.

Nå vil jeg bestemme a og b slik at

a * V.S. (alfa ) + b * V.S. (beta ) = 5 * x[tex]_1[/tex] + 4*x[tex]_2[/tex] + 3*[tex]x_3[/tex] + 2*x[tex]_4[/tex] + x[tex]_5[/tex].

Vi trenger bare to ligninger for å bestemme a og b.

Summen av x[tex]_1[/tex] - ledda = 5 * x[tex]_1[/tex] gir ligningen

( 1 ) a + b = 5

Sammenligner x[tex]_5[/tex]-ledda og får ligningen

( 2 ) a + 5b = 1

Dette ligningssetett har løsningen a = 6 og b = -1

Summerer høyresidene i alfa og beta , og får

sum = 6 *1 + 2 * ( - 1 ) = 4

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 03/11-2017 10:14
OYV
5 * [tex]x_1[/tex] + 4 * [tex]x_2[/tex] + 3 * [tex]x_3[/tex] + 2 * [tex]x_4[/tex] + [tex]x_5[/tex] = a * H.S. ( alfa ) + b * H.S.( beta ) = 6 * 1 + ( -1 )* 2 = 4

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 03/11-2017 10:17
Gustav
Fint det!

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 03/11-2017 10:26
Gustav
Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Alternativ løsning på 3: Legg merke til at $2+y=(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)+(5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5)=6(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=6$

Moralen er å utnytte symmetrien i problemet.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 03/11-2017 11:47
OYV
Enkel og elegant løsning !

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 03/11-2017 11:53
Markus
plutarco skrev:Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Alternativ løsning på 3: Legg merke til at $2+y=(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)+(5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5)=6(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=6$

Moralen er å utnytte symmetrien i problemet.


Gjerne det! Var svaret på 1 og 2 korrekt?

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 03/11-2017 12:37
Gjest
plutarco skrev:Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Ser ut til at abeloppgavene dine var en slager så jeg tror du trygt kan legge ut helt til folk slutter å løse dem, eller du går lei av å finne oppgaver. Selv likte jeg godt geometriproblemene så hvis du har noen av de må du gjerne legge ut sånne også :)