Side 1 av 2

Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 31/10-2017 20:54
Gustav
1. Finn alle tripler (x,y,z) slik at $x^2 + 2 y^2 + z^2=2xy+2yz$ Hint:
[+] Skjult tekst
Flytt alt over til venstre og skriv som en sum av kvadrater


2. Finn alle reelle tallpar (x,y) slik at $2x=x^2+y^2$ og $y=xy$ Hint:
[+] Skjult tekst
Legg to ganger ligning nr.2 til ligning nr.1 og bruk 1.kvadratsetning


3. Dersom

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$ og
$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=2$

Bestem verdien av $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$

Hint:
[+] Skjult tekst
Sett $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5=y$ og legg dette sammen med en av de to andre ligningene


4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.

5. Finn alle tallpar $(a,b)$ av positive heltall slik at $ab+a+b=2016$.

6. Vi har tretti tall. Gjennomsnittet av disse er $10$. Dersom vi fjerner ti av tallene er gjennomsnittet av de gjenværende tjue tallene $9$. Hva er gjennomsnittet av de ti tallene som ble fjernet?

7. Anta at $p(x)$ er et polynom av grad 4 slik at $p(0)=1$ og $p(k)=k$ for $k=1,2,3,4$. Bestem $p(5)$. Hint:
[+] Skjult tekst
La $q(x)=p(x)-x$ og bruk faktorteoremet


8. Hvor mange 5 sifrede tall fins slik at sifrene er ordnet i stigende rekkefølge? (0 kan ikke være førstesiffer) Hint:
[+] Skjult tekst
Hvis fem sifre i tallet et kjent, hvor mange slike tall fins?


9. Finn alle funksjoner $f(x)$ slik at $xf(x-1)+(x-1)f(x)=x$ for alle reelle tall $x$. Hint:
[+] Skjult tekst
Ingen slike funksjoner fins. Finn et paradoks ved innsetting av passende verdier for x


10. Faktorisér $a^3+a^2b-ab^2-b^3$ Hint:
[+] Skjult tekst
Betrakt uttrykket som en polynom i $a$, og finn et nullpunkt

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 31/10-2017 21:28
Aleks855
Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 31/10-2017 21:29
Markus
plutarco skrev:4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.


Ved binomialformelen har vi at

$\displaystyle (x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k 2^{6-k}$

Av dette ser vi at den $k$-ende koeffisenten er gitt ved $a_k = \binom{6}{k} 2^{6-k}$

Da blir $a_5+a_3+a_1 = \binom{6}{5} 2^{6-5} + \binom{6}{3} 2^{6-3} + \binom{6}{1} 2^{6-1} = 6 \cdot 2^5 + 20 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^1 = 364$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 31/10-2017 23:58
Markus
plutarco skrev:6. Vi har tretti tall. Gjennomsnittet av disse er $10$. Dersom vi fjerner ti av tallene er gjennomsnittet av de gjenværende tjue tallene $9$. Hva er gjennomsnittet av de ti tallene som ble fjernet?

Vi kaller summen av de $30$ tallene for $S_{30}$. Vi har at $\frac{S_{30}}{30} = 10 \enspace \Rightarrow \enspace S_{30} = 300$
Vi kaller summen av de gjenværende $20$ tallene for $S_{20}$. Da har vi at $\frac{S_{20}}{20} = 9 \enspace \Rightarrow \enspace S_{20} = 180$.

Da må summen av de tallene som ble fjernet være: $S_{fjernet} = S_{30} - S_{20} = 300 - 180 = 120$

Og da må gjennomsnittet av disse tallene være $\frac{120}{10} = 12$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 02:00
Gustav
Aleks855 skrev:Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.


Stemmer det. Vi kan eventuelt skrive ligningen som $(a+1)(b+1)=2017$ og observere at $2017$ er primtall, mens hver av faktorene på venstresida er større enn 1, dermed er venstresida aldri prim, så det kan ikke finnes noen løsning.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 02:05
Gustav
mattemarkus skrev:
plutarco skrev:4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.


Ved binomialformelen har vi at

$\displaystyle (x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k 2^{6-k}$

Av dette ser vi at den $k$-ende koeffisenten er gitt ved $a_k = \binom{6}{k} 2^{6-k}$

Da blir $a_5+a_3+a_1 = \binom{6}{5} 2^{6-5} + \binom{6}{3} 2^{6-3} + \binom{6}{1} 2^{6-1} = 6 \cdot 2^5 + 20 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^1 = 364$


Korrekt!

Alternativt kan vi først sette x=1 i ligningen. Det gir $3^6=a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$. Deretter sette $x=-1$, som gir $1=a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$. Differansen mellom disse to gir at $3^6-1=2(a_5+a_3+a_1)$, så $a_5+a_3+a_1=\frac{3^6-1}{2}=364$.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 02:08
Gustav
mattemarkus skrev:Vi kaller summen av de $30$ tallene for $S_{30}$. Vi har at $\frac{S_{30}}{30} = 10 \enspace \Rightarrow \enspace S_{30} = 300$
Vi kaller summen av de gjenværende $20$ tallene for $S_{20}$. Da har vi at $\frac{S_{20}}{20} = 9 \enspace \Rightarrow \enspace S_{20} = 180$.

Da må summen av de tallene som ble fjernet være: $S_{fjernet} = S_{30} - S_{20} = 300 - 180 = 120$

Og da må gjennomsnittet av disse tallene være $\frac{120}{10} = 12$


Supert!

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 09:09
Aleks855
plutarco skrev:
Aleks855 skrev:Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.


Stemmer det. Vi kan eventuelt skrive ligningen som $(a+1)(b+1)=2017$ og observere at $2017$ er primtall, mens hver av faktorene på venstresida er større enn 1, dermed er venstresida aldri prim, så det kan ikke finnes noen løsning.


Det var mye penere. Jeg lurte på hvorfor det var en 2016-oppgave, og ikke en 2017-oppgave ja. :lol:

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 11:53
Gustav
Hint til de uløste problemene er nå lagt til.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 14:44
OYV
Har et spørsmål til oppgave 7:

Har funnet p(x) = x + a*(x - 1)(x- 2)(x - 3)(x - 4)

Ut fra opplysningene i oppgaveteksta kan tallfaktoren a være et hvilket som helst tall, bare ikke lik null ( 0 ).

Det må da bety at p( 5 ) ikke er entydig bestemt , eller har jeg feiltolket problemet ?

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 16:49
Gustav
Godt observert. Glemte tilleggsopplysningen at $p(0)=1$

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 17:05
OYV
Takk for tilbakemelding ! Da er p( 5 ) entydig bestemt ( a = [tex]\frac{1}{24}[/tex] ).

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 17:11
Janhaa
plutarco skrev:9. Finn alle funksjoner $f(x)$ slik at $xf(x-1)+(x-1)f(x)=x$ for alle reelle tall $x$. Hint:
[+] Skjult tekst
Ingen slike funksjoner fins. Finn et paradoks ved innsetting av passende verdier for x


Gjorde oppg 9 i går, men glemte den av.
Fant for øvrig ut at:

[tex]x=0:[/tex]
gir
[tex]f(0)=0[/tex]
og
[tex]x=1[/tex]
gir
[tex]f(0)=1[/tex]

som blir motsigelse.

Ellers mener jeg at liknende funksjonalligninger ofte er på:
[tex]f(x)=1/x[/tex]
form?

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 01/11-2017 18:46
Gustav
Riktig!

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

InnleggSkrevet: 02/11-2017 22:02
Markus
plutarco skrev:1. Finn alle tripler (x,y,z) slik at $x^2 + 2 y^2 + z^2=2xy+2yz$


$x^2+2 y^2 +z^2=2xy+2yz$

$x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz=0$

$x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+y^2 = 0$

$(x-y)^2 + (z-y)^2 = 0$

Siden både $(x-y)^2$ og $(z-y)^2$ gir positive verdier, så lenge $x-y \neq 0$ og $z-y \neq 0$, er den eneste måten likningen kan være sann på hvis $x-y = 0$ og $z-y = 0$.

Det finnes uendelig mange tripler $(x,y,z)$ som oppfyller det kriteriet, og alle er på formen $(n,n,n)$, altså $x=y=z$.