Tidligere abeloppgave

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Tidligere abeloppgave

Innlegg Markus » 07/11-2017 18:03

Her er en oppgave fra runde 1 i Abelkonkurransen, som jeg selv synes var fin. Den skal være grei å løse utenom noe særlig forkunnskaper, men polynomdivisjonen man lærer i R1, kan være nyttig.

Hva er tverrsummen til det minst positive heltallet $n$ som er slik at $700$ går opp i $n^4+6n^3+11n^2+6n$?

Hint:
[+] Skjult tekst
Faktoriser polynomet, og primtallsfaktoriser $700$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Tidligere abeloppgave

Innlegg Janhaa » 07/11-2017 19:58

mattemarkus skrev:Her er en oppgave fra runde 1 i Abelkonkurransen, som jeg selv synes var fin. Den skal være grei å løse utenom noe særlig forkunnskaper, men polynomdivisjonen man lærer i R1, kan være nyttig.
Hva er tverrsummen til det minst positive heltallet $n$ som er slik at $700$ går opp i $n^4+6n^3+11n^2+6n$?
Hint:
[+] Skjult tekst
Faktoriser polynomet, og primtallsfaktoriser $700$.

jeg vet den ikke skal løses slik, men lell:

[tex]n^4+6n^3+11n^2+6n \equiv 0\pmod{700}\\ \\ n^4+6n^3+11n^2+6n \equiv 0\pmod{4}\\[/tex]

DVs minste n = 25,
og tverrsummen lik 7.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7770
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Tidligere abeloppgave

Innlegg OYV » 07/11-2017 20:13

Polynomet P( n ) = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n = n ( n^3 + 6n^2 + 11n + 6)

Konstantleddet i 3.gradspolynomet ( 6 ) forteller at produktet av nullpunkta er lik -6.
Dette passer med ( -1 ), ( -2) og ( - 3 ). P(n) har fire nullpunkt og kan dermed skrives som et produkt av fire lineære
faktorer.

P( n ) = n * ( n +1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )( n + 4 )

Tallet 700 = 7 * 10^2 = 7 * 2^2 * 5^2 deler P( n )


( *) P( n ) må inneholde alle primfaktorene til 700 .

Vi prøver med n = 1 , n =2 , .......o.s.v.

Da ser vi at vi må velge n = 7 for å få en faktorrekke som oppfyller kravet (* )

Svar: n = 7
OYV offline

Re: Tidligere abeloppgave

Innlegg Markus » 07/11-2017 21:22

OYV skrev:Polynomet P( n ) = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n = n ( n^3 + 6n^2 + 11n + 6)

Konstantleddet i 3.gradspolynomet ( 6 ) forteller at produktet av nullpunkta er lik -6.
Dette passer med ( -1 ), ( -2) og ( - 3 ). P(n) har fire nullpunkt og kan dermed skrives som et produkt av fire lineære
faktorer.

P( n ) = n * ( n +1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )( n + 4 )

Tallet 700 = 7 * 10^2 = 7 * 2^2 * 5^2 deler P( n )


( *) P( n ) må inneholde alle primfaktorene til 700 .

Vi prøver med n = 1 , n =2 , .......o.s.v.

Da ser vi at vi må velge n = 7 for å få en faktorrekke som oppfyller kravet (* )

Svar: n = 7


Mener du $7$ som i tverrsummen, eller som i at $n=7$. Førstnevnte er rett, men sistnevnte sliter jeg med å henge på med.

Med $n=7$ vil jo ikke $700|P(n)$. Siden $P(n) = n(n+1)(n+2)(n+3)$, vil $P(7) = 5040$ , men $700 \nmid 5040$, så det stemmer jo ikke. Jeg ser at du sier at $P(n)$ har fire nullpunkt, men allikevel skriver du det som et produkt av fem nullpunkt. Det er mulig her feilen ligger?

$700$ har primtallsfaktoriseringen $7 \cdot 5^2 \cdot 2^2$. Siden multipler av $5$ bare dukker opp for hvert femte tall, og siden $P(n)$ bare har fire nullpunkt, med differanse på $1$, mellom hver av de, er den eneste måten å få $5^2$ ved at en av faktorene i $P(n)$ er $25 = 5^2$. De nærmeste tallene av $25$ som er delelig på $7$ er $21$ og $28$. Hvis $25$ skal være en av faktorene kan ikke $21$, være en av de fordi $25-3=22$. Dette gir faktorrekken $P(25)=25 \cdot 26 \cdot 27 \cdot 28 = 5^2 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 27 \cdot 26$, og her er faktorene som vi ønsket.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Tidligere abeloppgave

Innlegg OYV » 07/11-2017 21:52

Fullstendig klar over denne feilen ! n = 7 gir bare en 5-faktor . Hadde også skrevet ferdig en korreksjon til mitt første
innlegg , men da hadde Janhaa allerede presentert rett svar. Derfor lot jeg det hele ligge i påvente av en innsigelse
fra innsender ( denne er helt berettiget ). Når dette er sagt , tør jeg påstå at tenkemåten i mitt løsningforslag
holder mål.

P. S. Har skrevet P( n ) som et produkt av 5 faktorer. Det oppdaget jeg ikke før du gjorde meg oppmerksom på det , men
selv om vi regner med en ekstra " distraksjonsfaktor " ( n + 4 ) , så er ikke det nok til å få en ekstra 5-faktor ( gitt at
n = 7 ).
OYV offline

Re: Tidligere abeloppgave

Innlegg Markus » 07/11-2017 21:59

OYV skrev:Fullstendig klar over denne feilen ! n = 7 gir bare en 5-faktor . Hadde også skrevet ferdig en korreksjon til mitt første
innlegg , men da hadde Janhaa allerede presentert rett svar. Derfor lot jeg det hele ligge i påvente av en innsigelse
fra innsender ( denne er helt berettiget ). Når dette er sagt , tør jeg påstå at tenkemåten i mitt løsningforslag
holder mål.

P. S. Har skrevet P( n ) som et produkt av 5 faktorer. Det oppdaget jeg ikke før du gjorde meg oppmerksom på det , men
selv om vi regner med en ekstra " distraksjonsfaktor " ( n + 4 ) , så er ikke det nok til å få en ekstra 5-faktor ( gitt at
n = 7 ).


Jeg er helt enig i løsningsforslaget ditt. Jeg tenkte likt som deg, da jeg løste den selv. Jepp, distraksjonfaktoren hadde vel bare gjort en forskjell hvis den hadde vært $(n+5)$.

Du har ikke tenkt å lage deg en ordentlig bruker på forumet da? Jeg ser deg jo her omtrent hver dag! Hvor i studieløpet er du? VGS, student eller noe etterpå?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Tidligere abeloppgave

Innlegg OYV » 07/11-2017 22:16

Takk for tilbakemelding. Når det gjelder min status , tilhører jeg kategorien " noe etterpå " . Oppdaget dette nettverket
for en tid tilbake og har hatt mye glede av å delta. En interessant og givende fritidsaktivitet.
OYV offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester