Litt tallteori og algebra

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Re: Litt tallteori og algebra

Innlegg Markus » 10/11-2017 20:13

Korrekt, og fin løsning. Disse oppgavene gikk fort unna gitt, nå er det bare én igjen.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Litt tallteori og algebra

Innlegg alund » 10/11-2017 23:39

Markus skrev:$(7)$ Hvor mange heltall $a$ fins det som er lengden av en katet i en rettvinklet trekant der den andre kateten har lengde $27$ og hypotenusen også har heltallig lengde?


Må finne løsninger til den diofantiske ligningen [tex]27^2+a^2=h^2[/tex] der [tex]h[/tex] er hypotenusen. Omformer til [tex]27^2=3^6=h^2-a^2=(h+a)(h-a)[/tex]. Siden [tex]a[/tex] skal være en lengde tenker jeg det må være større enn [tex]0[/tex]. Dermed er [tex]h+a>h-a[/tex]. Har at [tex](h+a)(h-a)=3^6[/tex], så alternativene er:
[tex](1):\: h+a=3^4\: \wedge \: h-a=3^2[/tex]
[tex](2):\: h+a=3^5\: \wedge \: h-a=3[/tex]
[tex](3):\: h+a=3^6 \: \wedge \: h-a=1[/tex]

Bruker samme metode for å finne [tex]a[/tex] i de ulike tilfellene: jeg bruker den andre ligningen til å finne [tex]h[/tex] uttrykt ved [tex]a[/tex], og setter det inn i første ligning for å finne [tex]a[/tex].

[tex](1)[/tex]
[tex]h=a+9[/tex], som gir [tex]2a+9=3^4=81[/tex].
Dermed er [tex]a={81-9\over 2}=36[/tex] en løsning.

[tex](2)[/tex]
[tex]h=a+3[/tex], som gir [tex]2a+3=3^5=243[/tex].
Dermed er [tex]a={243-3\over 2}=120[/tex] den andre løsningen.

[tex](3)[/tex]
[tex]h=a+1[/tex], som gir [tex]2a+1=3^6=729[/tex].
Dermed er [tex]a={729-1\over 2}=364[/tex] den tredje og siste løsningen.

Der er tre heltall [tex]a[/tex], nemlig [tex]36[/tex], [tex]120[/tex] og [tex]364[/tex].
Test: [tex]27^2+36^2=(36+9)^2=2025[/tex], [tex]27^2+120^2=(120+3)^2=15129[/tex] og [tex]27^2+364^2=(364+1)^2=133225[/tex].
alund offline
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 31/03-2017 20:40

Re: Litt tallteori og algebra

Innlegg Gjest » 11/11-2017 00:00

Ettersom 27 er et oddetall er de pytagoreisketriplettene gitt ved:
$a=oddetall$
$b = (a^2-1)/2$
$c = b+1$

$b = (27^2-1)/2 = 364$
$c = 364+1 = 365$

Videre er $27 = 9 \cdot 3$ slik at man kan finne to andre tripletter ved:
$b = (9^2-1)/2 = 40$
$c = 40+1 = 41$
$3(a,b,c) = (27,120,123)$

og

$b= (3^2-1)/2 = 4$
$c = 4+1 = 5$
$9(a,b,c) = (27,36, 45)$

Resten er trivielle
Gjest offline

Re: Litt tallteori og algebra

Innlegg Markus » 11/11-2017 13:36

Jepp, det er tre slike heltall $a$.

Da var alle oppgavene løst gitt. :D
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Forrige

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 16 gjester