matematikk.net

Ulikhet 5
Denne ulikheten er et resultat av "rearangement inequality", men den kan også løses slik:
Av symmetri kan vi anta at [tex]a\geq b \geq c \geq d[/tex] og derfor [tex]a^4\geq b^4 \geq c^4 \geq d^4[/tex], da sier Chebyshevs (sum) ulikhet*:
[tex]a^5+b^5+c^5+d^5=4\frac{a^4\cdot a+b^4\cdot b+c^4\cdot c+d^4\cdot d}{4} \geq \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}(a+b+c+d)[/tex]
Fra AM-GM har vi:
[tex]\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\geq \sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4}=abcd[/tex]

*Dette resultatet kan du også få ved å utvide ulikheten:
[tex]\sum_{\text{Sym}} (a^4-b^4)(a-b) \geq 0[/tex]

Gjest skrev: [tex]4\frac{a^4\cdot a+b^4\cdot b+c^4\cdot c+d^4\cdot d}{4} \geq \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\frac{a+b+c+d}{4}[/tex]

Her skal det stå:
[tex]4\frac{a^4\cdot a+b^4\cdot b+c^4\cdot c+d^4\cdot d}{4} \geq 4 \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\frac{a+b+c+d}{4}[/tex]