matematikk.net

Løs ligningssystemet
[tex]xy=12\sqrt{6}[/tex]
[tex]yz=54\sqrt{2}[/tex]
[tex]zx=48\sqrt{3}[/tex]
der [tex]x,y,z\in \mathbb{R}^+[/tex].

Ganger du de tre likningene, får du $(xyz)^2 = 432^2$, som gir $xyz = \pm 432$. Resten klarer du selv.

Siden spørsmålet er i kveldens integral og andre nøtter regner jeg med at spørsmålet var lagt ut som en utfordring til oss andre.

Vi har at
$xy = 12 \sqrt{6}$
$yz = 54\sqrt{2}$
$zx = 48\sqrt{3}$

$yz \cdot zx = z^2xy = 54\sqrt{2} \cdot 48\sqrt{3} = 54 \cdot 48 \cdot \sqrt{6} \enspace \Rightarrow \enspace z^2 = \frac{54 \cdot 48 \cdot \sqrt{6}}{xy}$

Og $xy$ vet vi jo fra før av:
$z^2 = \frac{54 \cdot 48 \cdot \sqrt{6}}{12\sqrt{6}} = \frac{54 \cdot 12 \cdot 4 \cdot \sqrt{6}}{12\sqrt{6}} = 54 \cdot 4 = 6 \cdot 9 \cdot 4 \enspace \Rightarrow \enspace z = \pm \sqrt{6 \cdot 9 \cdot 4} = \pm \sqrt{6} \cdot 3 \cdot 2 = \pm 6\sqrt{6}$

Av $yz = 54\sqrt{2}$ har vi at $y = \frac{54 \sqrt{2}}{z}$

Så da må $y = \pm \frac{54 \sqrt{2}}{6\sqrt{6}} = \pm \frac{6 \cdot 9 \cdot \sqrt{2}}{6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \pm \frac{9}{\sqrt{3}} = \pm \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm 3\sqrt{3}$

Av $xy = 12\sqrt{6}$ har vi at $x = \frac{12\sqrt{6}}{y}$

Så da må $x= \pm \frac{12 \sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \pm \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} = \pm 4\sqrt{2}$

Vi har altså to løsninger:
$x = -4\sqrt{2}, y=-3\sqrt{3}, z=-6\sqrt{6} \enspace \enspace \lor \enspace \enspace x = 4\sqrt{2}, y=3\sqrt{3}, z=6\sqrt{6}$