Geometri-oppgave fra Abelfinalen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La $ABC$ være en spissvinklet trekant med $AB<AC$. Punktene $A_1$ og $A_2$ ligger på linjen $BC$ slik at $AA_1$ og $AA_2$ er den indre, henholdsvis ytre vinkelhalveringslinjen i $A$ i trekanten $ABC$. La $A_3$ være speilbildet til $A_2$ om punktet $C$, og la $Q$ være et punkt på $AA_1$ slik at $\angle A_1 QA_3=90^\circ$. VIs at $QC||AB$.
Sett [tex]\angle[/tex]CAA[tex]_1[/tex] = [tex]\angle[/tex]BAA[tex]_1[/tex] = v
Sett [tex]\angle[/tex]BAA[tex]_2[/tex] = u
Da er [tex]\angle[/tex]A[tex]_1[/tex]AA[tex]_2[/tex] = u + v = 90 grader.
Både AA[tex]_2[/tex] og QA[tex]_3[/tex] står vinkelret på AQ [tex]\Rightarrow[/tex] AA[tex]_2[/tex] [tex]\left | \right |[/tex]QA[tex]_3[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AA[tex]_2[/tex]A[tex]_1[/tex] = [tex]\angle[/tex]A[tex]_1[/tex]A[tex]_3[/tex]Q
Forlenginga av AC skjærer QA[tex]_3[/tex] i punktet A[tex]_4[/tex].
A[tex]_2[/tex]C = A[tex]_3[/tex]C [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\bigtriangleup[/tex]AA[tex]_2[/tex]C er kongruent med
[tex]\bigtriangleup[/tex]CA[tex]_3[/tex]A[tex]_4[/tex]
Det betyr at AC = CQ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AQC = [tex]\angle[/tex]CAQ = [tex]\angle[/tex]QAB = v
[tex]\Rightarrow[/tex] AB [tex]\left | \right |[/tex]CQ ( q. e. d. )
Det betyr at A[tex]_4[/tex]C = AC [tex]\Rightarrow[/tex] C er midtpunktet påAA[tex]_4[/tex] . Siden [tex]\angle[/tex]AQA[tex]_4[/tex] = 90 grader , må punktet Q ligge på periferien til en halvsirkel med diameter lik AA[tex]_4[/tex]
Sett [tex]\angle[/tex]BAA[tex]_2[/tex] = u
Da er [tex]\angle[/tex]A[tex]_1[/tex]AA[tex]_2[/tex] = u + v = 90 grader.
Både AA[tex]_2[/tex] og QA[tex]_3[/tex] står vinkelret på AQ [tex]\Rightarrow[/tex] AA[tex]_2[/tex] [tex]\left | \right |[/tex]QA[tex]_3[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AA[tex]_2[/tex]A[tex]_1[/tex] = [tex]\angle[/tex]A[tex]_1[/tex]A[tex]_3[/tex]Q
Forlenginga av AC skjærer QA[tex]_3[/tex] i punktet A[tex]_4[/tex].
A[tex]_2[/tex]C = A[tex]_3[/tex]C [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\bigtriangleup[/tex]AA[tex]_2[/tex]C er kongruent med
[tex]\bigtriangleup[/tex]CA[tex]_3[/tex]A[tex]_4[/tex]
Det betyr at AC = CQ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AQC = [tex]\angle[/tex]CAQ = [tex]\angle[/tex]QAB = v
[tex]\Rightarrow[/tex] AB [tex]\left | \right |[/tex]CQ ( q. e. d. )
Det betyr at A[tex]_4[/tex]C = AC [tex]\Rightarrow[/tex] C er midtpunktet påAA[tex]_4[/tex] . Siden [tex]\angle[/tex]AQA[tex]_4[/tex] = 90 grader , må punktet Q ligge på periferien til en halvsirkel med diameter lik AA[tex]_4[/tex]
Av en eller annen merkelig grunn har de to siste linjene i mitt løsningforslag byttet plass.
Håper at den som leser innlegget forstår dette.
Håper at den som leser innlegget forstår dette.
Veldig fint. Legger ved en unødvendig projektiv løsning:
La $P$ være skjæringspunktet mellom linjen $AA_2$ og $CQ$. Ettersom $C$ er midtpunktet på $A_2A_3$, samt $A_2A || A_3Q$ (fordi $\angle A_2AQ=\angle A_3 Q A = 90^\circ$), har vi at $C$ også er midtpunktet på $PQ$ (pga $\triangle A_2CP \cong \triangle A_3CQ $).
Det er kjent resultat at kryss-forholdet $(A_2,A_1;B,C)=-1$. Dersom vi projekterer gjennom $A$ til linjen $CQ$, har vi: $(A_2,A_1;B,C)=(P,Q;P',C)=-1$, hvor $P'$ er skjæringen mellom linjen $AB$ og $CQ$. Men siden $C$ er midtpunktet på $PQ$, må $P'$ være det uendelig fjerne punktet på $CQ$, som impliserer det ønskede resultatet.
La $P$ være skjæringspunktet mellom linjen $AA_2$ og $CQ$. Ettersom $C$ er midtpunktet på $A_2A_3$, samt $A_2A || A_3Q$ (fordi $\angle A_2AQ=\angle A_3 Q A = 90^\circ$), har vi at $C$ også er midtpunktet på $PQ$ (pga $\triangle A_2CP \cong \triangle A_3CQ $).
Det er kjent resultat at kryss-forholdet $(A_2,A_1;B,C)=-1$. Dersom vi projekterer gjennom $A$ til linjen $CQ$, har vi: $(A_2,A_1;B,C)=(P,Q;P',C)=-1$, hvor $P'$ er skjæringen mellom linjen $AB$ og $CQ$. Men siden $C$ er midtpunktet på $PQ$, må $P'$ være det uendelig fjerne punktet på $CQ$, som impliserer det ønskede resultatet.