Gitt at $a,b,c,d,e$ er reelle tall slik at
$a+b+c+d+e=8$ og
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16$,
bestem den maksimale verdien av $e$.
Edit:
Hint:
Maksimering
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ved Cauchy-Schwarz:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1) \geq (a+b+c+d)^2$
$4(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a+b+c+d)^2$
Bruker videre at $a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2$ og at $a+b+c+d = 8 - e$
$4(16-e^2) \geq (8-e)^2$
$64 - 4e^2 \geq 64 - 16e + e^2$
$16e \geq 5e^2 \Longrightarrow \frac{16}{5} \geq e$
Altså er maksimumet til $e = \frac{16}{5}$
$(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1) \geq (a+b+c+d)^2$
$4(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a+b+c+d)^2$
Bruker videre at $a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2$ og at $a+b+c+d = 8 - e$
$4(16-e^2) \geq (8-e)^2$
$64 - 4e^2 \geq 64 - 16e + e^2$
$16e \geq 5e^2 \Longrightarrow \frac{16}{5} \geq e$
Altså er maksimumet til $e = \frac{16}{5}$
Meget bra, Markus!Markus skrev:Ved Cauchy-Schwarz:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1) \geq (a+b+c+d)^2$
$4(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a+b+c+d)^2$
Bruker videre at $a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2$ og at $a+b+c+d = 8 - e$
$4(16-e^2) \geq (8-e)^2$
$64 - 4e^2 \geq 64 - 16e + e^2$
$16e \geq 5e^2 \Longrightarrow \frac{16}{5} \geq e$
Altså er maksimumet til $e = \frac{16}{5}$