matematikk.net

Gitt at $a,b,c,d,e$ er reelle tall slik at

$a+b+c+d+e=8$ og
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16$,

bestem den maksimale verdien av $e$.

Edit:

Hint:

[+] Skjult tekst

Formulér problemet som en ulikhet i $e$. Her kan enten Cauchy-Schwarz'- eller Chebyshevs sum-ulikhet være til nytte.

Ved Cauchy-Schwarz:

$(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1) \geq (a+b+c+d)^2$

$4(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a+b+c+d)^2$

Bruker videre at $a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2$ og at $a+b+c+d = 8 - e$

$4(16-e^2) \geq (8-e)^2$

$64 - 4e^2 \geq 64 - 16e + e^2$

$16e \geq 5e^2 \Longrightarrow \frac{16}{5} \geq e$

Altså er maksimumet til $e = \frac{16}{5}$

Markus skrev:Ved Cauchy-Schwarz:

$(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1) \geq (a+b+c+d)^2$

$4(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a+b+c+d)^2$

Bruker videre at $a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2$ og at $a+b+c+d = 8 - e$

$4(16-e^2) \geq (8-e)^2$

$64 - 4e^2 \geq 64 - 16e + e^2$

$16e \geq 5e^2 \Longrightarrow \frac{16}{5} \geq e$

Altså er maksimumet til $e = \frac{16}{5}$

Meget bra, Markus!