Side 1 av 1

Ulikhet

InnleggSkrevet: 08/12-2017 00:14
Kay
Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]

Re: Ulikhet

InnleggSkrevet: 08/12-2017 13:47
mingjun
Dette følger vel direkte fra Cauchy Schwartz (i engelform) i integralform.

Re: Ulikhet

InnleggSkrevet: 11/12-2017 16:01
Gustav
Kay skrev:Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]


Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhet

$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er

$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,

der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.

Re: Ulikhet

InnleggSkrevet: 11/12-2017 16:17
Kay
Gustav skrev:
Kay skrev:Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]


Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhet

$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er

$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,

der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.


Var Schwarz' som var tanken her, ja. Fint.