matematikk.net

Hva er det minste positive heltallet $b$ slik at $2014$ går opp i $5991b+289$?

Markus skrev:Hva er det minste positive heltallet $b$ slik at $2014$ går opp i $5991b+289$?

jeg ville sagt:

[tex]5991x \equiv 289 \pmod{2014}\\ x \equiv 1337 \pmod{2014}\\[/tex]

dvs minste heltall,
[tex]b > 0[/tex]
[tex]b=|1337-2014|=677[/tex]

Markus skrev:Hva er det minste positive heltallet $b$ slik at $2014$ går opp i $5991b+289$?

gcd(2014,5991)=1 så problemet er ekvivalent med å løse den diofantiske ligningen $2014x+5991y=1$.

Jeg vet ikke helt om jeg henger med på svaret ditt Janhaa. Svaret er jo selvfølgelig helt korrekt, men om du kunne vist litt mer mellomregninger / hva du tenker, så hadde jeg satt stor pris på det.

Enig Gustav, du kan også for så vidt gjøre den observasjonen at $5591 \equiv -51 \enspace (\text{mod } 2014)$, så problemet kan også skrives som $-51b + 289 \equiv 0 \enspace (\text{mod } 2014)$, som igjen kan forenkles til $3b \equiv 17 \enspace (\text{mod } 2014)$. Vi substituerer $c = b+6$, som gir $3c+1 \equiv 0 \enspace (\text{mod } 2014)$. Vi har altså den diofantiske likningen $3x - 2014y = -1$.

Vi finner $\gcd(-2014,3)$:
$-2014 = -672 \cdot 3 + 2$
$3 = 2 \cdot 1 + 1$
$2 = 2 \cdot 1 + 0$

Videre gir den utvidede versjonen av Euklids algoritme
$1 = (1 \cdot 3) + (-1 \cdot 2)$
$1 = (-1 \cdot -2014) + (-671 \cdot 3)$

Av dette ser vi at de generelle løsningene er
$x = 2014n + 671$
$y = 3n + 1$

Det vil si at $c=671$ er en løsning til $3c + 1 \equiv 0 \enspace (\text{mod } 2014)$. Substituerer vi nå tilbake får vi at $b = 677$.