Julekalender #12

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

a) $101$ punkter ligger plassert tilfeldig innenfor et kvadrat med sidelengder $1$. Vis at det må eksistere tre punkter som danner en trekant med areal mindre eller lik $0.01$.

b) Vi fargelegger planet med 2 ulike farger. Vis at det må eksistere to punkter av samme farge med avstand 1.

c) (vanskelig?) Vi fargelegger planet med 3 ulike farger. Vis at det må eksistere to punkter av samme farge med avstand 1.
alund
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 31/03-2017 21:40

b) Farger planet hvitt og blått, og antar der ikke finnes to punkter av samme farge med avstand 1.

Om vi har et hvitt punkt, må da alle punkter med avstand 1 til punktet være blå. Dermed har vi en blå sirkel med radius 1 om et hvitt punkt. Bare periferien er farget.
Om vi ser på et punkt på periferien til denne sirkelen, må da det punktet ha en hvit sirkel med radius 1 om seg.
Sirklene vil skjære hverandre. Uansett farge på skjæringspunktene vil de ha et punkt med lik farge og avstand 1, nemlig sentrum i ett av sirklene, som motsier antagelsen.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Flott!
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

a)
Del kvadratet opp i 50 identiske rektangler. Disse vil ha sidelengder $\frac{1}{5}=0.2$ og $\frac{1}{10} = 0.1$. Siden vi har $101$ punkter må det være minst ett rektangel med $3$ punkter av dueboksprinsippet. Det maksimale arealet i dette rektangelet får vi når to punkter ligger i hvert sitt hjørne på samme linje, og det siste punktet ligger et sted på linjen over. Da er $A_{maks} = \frac{0.1 \cdot 0.2}{2} = 0.1^2 = 0.01$, som vil si at vi alltid har en trekant med areal mindre eller lik $0.01$, og dette vi ønsket å vise.
Svar