lite jule-integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

lite jule-integral

Innlegg Janhaa » 13/12-2017 16:52

[tex]\large I=\int_{0}^{1}\frac{x^{100}-1}{\ln(x)}\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7732
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: lite jule-integral

Innlegg MatIsa » 13/12-2017 23:56

La [tex]I(\alpha) = \int_0^1 \dfrac{x^\alpha-1}{\ln(x)}dx[/tex]. Da har man at $$\dfrac{dI}{d\alpha} = \int_0^1 \dfrac{d}{d\alpha}\left(\dfrac{x^\alpha-1}{\ln(x)}\right)dx = \int_0^1 x^\alpha dx = \dfrac{1}{\alpha+1}$$
slik at [tex]I(\alpha) = \ln|\alpha+1|+C[/tex]. Ettersom $I(0) = 0$ må $C = 0$, og dermed følger [tex]I(100) = \ln(101)[/tex].
MatIsa offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 11:09
Bosted: Trondheim

Re: lite jule-integral

Innlegg Janhaa » 14/12-2017 12:28

MatIsa skrev:La [tex]I(\alpha) = \int_0^1 \dfrac{x^\alpha-1}{\ln(x)}dx[/tex]. Da har man at $$\dfrac{dI}{d\alpha} = \int_0^1 \dfrac{d}{d\alpha}\left(\dfrac{x^\alpha-1}{\ln(x)}\right)dx = \int_0^1 x^\alpha dx = \dfrac{1}{\alpha+1}$$
slik at [tex]I(\alpha) = \ln|\alpha+1|+C[/tex]. Ettersom $I(0) = 0$ må $C = 0$, og dermed følger [tex]I(100) = \ln(101)[/tex].

bra,
"differentiate under the integral sign" funker...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7732
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 15 gjester