Julekalender #15

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

En funksjon $f(x)$ er definert for positive heltall $x$, slik at følgende gjelder for alle $x,y$:

I. $f(x,x)=x$
II. $f(x,y)=f(y,x)$
III. $(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)$

Bestem verdien av $f(14,52)$
sbra
Cantor
Cantor
Innlegg: 115
Registrert: 19/05-2014 13:25

Vi kan alltid la y være det største tallet siden f er symmetrisk i argumentene.

Hvis vi skriver om (III) til [tex]f(x,y) = \frac{y}{x+y}f(x,x+y)[/tex], så ser vi at vi kan trekke x fra y, mot at vi får en faktor. I tillegg ser vi at dersom vi trekker fra flere multiplum av x fra y så vil vi få et sett med faktorer der telleren i en faktor kanselleres av nevner i neste faktor, slik at vi bare sitter igjen med teller i den første faktor og nevner i den siste.

Lar vi y være et helt multiplum av x, så er det også mulig å vise at [tex]f(x, kx) = kx[/tex].

Vi kan dermed finne[tex]f(14,52)[/tex] slik:

1. [tex]f(14,52) = \frac{52}{10}f(10,14)[/tex]. Her har jeg trukket fra [tex]3\cdot 14[/tex] og fått en faktor. I tillegg har jeg brukt II. og snudd om på argumentene.
2. [tex]f(10,14) = \frac{14}{4}f(4,10)[/tex]. Samme som i 1. Trukket fra 10, fått en ny faktor, og snudd om på argumentene.
3. [tex]f(4,10) = \frac{10}{2}f(2,4)[/tex]. Trukket fra 8 og snudd om på argumentene.
4. Siden 4 er et multiplum av 2 så er [tex]f(2,4) = 4[/tex]

Ut fra disse finner vi et uttrykk for svaret, [tex]f(14, 52) = \frac{52}{10}\frac{14}{4}\frac{10}{2}\cdot 4 = 52\cdot 7 = 364[/tex].

Ble det riktig, mon tro?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Helt rett!
Svar