La $p(x)$ være et polynom av grad $n$ slik at $p(x)\geq 0$ for alle reelle $x$. Vis at
$p(x)+p'(x)+p''(x)+...+p^{(n)}(x)\geq 0$ for alle reelle $x$.
($p^{(k)}(x)$ er den k-te deriverte av $p(x)$)
Hint:
Hint 2:
Edit: Hint lagt til
Julekalender #17
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Skriv $P(x)=\sum_{i=0}^{n} p^{(i)}(x)$. For motsigelse, antat at $P(x)$ oppnår sin minimale verdi ved $x=a$, og $P(a)<0$. Men det impliserer at $P'(a)=P(a)-p(a)<0$, som videre betyr at $P(x)$ må være strengt synkende i $x=a$. Altså har vi en motsigelse.
Edit: For å kunne å anta at en global minima eksisterer for $P$ er vi nødt til å peke ut at $P$ er av jevn grad og har en positiv ledende koeffisient, men det er lett å vise.
Edit: For å kunne å anta at en global minima eksisterer for $P$ er vi nødt til å peke ut at $P$ er av jevn grad og har en positiv ledende koeffisient, men det er lett å vise.