La $n$ være et positivt heltall. Vis at et tall med $3^n$ like siffer (alle sifrene er like) alltid er delelig med $3^n$.
Hint:
Julekalender #18
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Definerer utsagnet
p( n ):[/b] Et tall med 3[tex]^n[/tex] like siffer er delelig med 3^n
La s være et siffer som er element i mengden { 1 , 2 , 3 , ............., 8 , 9 }
Basistilfellet n = 1 : 3[tex]^n[/tex] = 3[tex]^1[/tex] = 3 gir et tresiffra tall og dette kan skrives
s [tex]\cdot[/tex]( 10[tex]^0[/tex] + 10[tex]^1[/tex] + 10[tex]^2[/tex]) = 111[tex]\cdot[/tex]s
er åpenbart delelig med tre ettersom tverrsummen av 111 er lik 3
Utsagnet p( n ) er såeldes sant for n = 1.
2) Antar nå at p( n ) er sann for n = k .
Det betyr at s [tex]\cdot[/tex]( 10[tex]^{0}[/tex] + 10[tex]^1[/tex] + ........ + 10[tex]^{(3^k - 1)}[/tex] )
= s[tex]_{3^k}[/tex]( geom. rekke med kvotient lik 10 og 3[tex]^k[/tex] ledd ) = [tex]\frac{10^(3^k ) - 1}{10-1}[/tex]
= 3[tex]^k[/tex][tex]\cdot[/tex] p , der p er et element i N
Løyser ut 10[tex]^{3^k}[/tex] og får
( * ) 10[tex]^{3^k}[/tex] = 9 * p * 3[tex]^k[/tex] + 1
n = k + 1 [tex]\rightarrow[/tex] s[tex]_{3^{k+1}[/tex] = (geom. rekke med 10[tex]^{3^{k+1}[/tex] ledd ) = [tex]\frac{10^{3^{k+1}}-1}{10- 1|}[/tex] = [tex]\frac{(10^{3^k})^3 - 1}{9}[/tex]
Setter inn for 10[tex]^{3^k}[/tex] og får
s[tex]_{3^{k+1}}[/tex] = [tex]\frac{(9p\cdot 3^k + 1)^3 - 1}{9}[/tex] = (Newton's binomialformel ) = (27p[tex]^3[/tex]+ 9p[tex]^2[/tex] + p ) [tex]\cdot[/tex]3[tex]^{k+1}[/tex]
Konklusjon: Har vist at p ( n ) er sann for n = 1 [tex]\wedge[/tex] p( k ) [tex]\Rightarrow[/tex] p ( k + 1 )
Dermed kan vi slutte at p ( n ) er sann for alle n [tex]\geq[/tex] 1
p( n ):[/b] Et tall med 3[tex]^n[/tex] like siffer er delelig med 3^n
La s være et siffer som er element i mengden { 1 , 2 , 3 , ............., 8 , 9 }
Basistilfellet n = 1 : 3[tex]^n[/tex] = 3[tex]^1[/tex] = 3 gir et tresiffra tall og dette kan skrives
s [tex]\cdot[/tex]( 10[tex]^0[/tex] + 10[tex]^1[/tex] + 10[tex]^2[/tex]) = 111[tex]\cdot[/tex]s
er åpenbart delelig med tre ettersom tverrsummen av 111 er lik 3
Utsagnet p( n ) er såeldes sant for n = 1.
2) Antar nå at p( n ) er sann for n = k .
Det betyr at s [tex]\cdot[/tex]( 10[tex]^{0}[/tex] + 10[tex]^1[/tex] + ........ + 10[tex]^{(3^k - 1)}[/tex] )
= s[tex]_{3^k}[/tex]( geom. rekke med kvotient lik 10 og 3[tex]^k[/tex] ledd ) = [tex]\frac{10^(3^k ) - 1}{10-1}[/tex]
= 3[tex]^k[/tex][tex]\cdot[/tex] p , der p er et element i N
Løyser ut 10[tex]^{3^k}[/tex] og får
( * ) 10[tex]^{3^k}[/tex] = 9 * p * 3[tex]^k[/tex] + 1
n = k + 1 [tex]\rightarrow[/tex] s[tex]_{3^{k+1}[/tex] = (geom. rekke med 10[tex]^{3^{k+1}[/tex] ledd ) = [tex]\frac{10^{3^{k+1}}-1}{10- 1|}[/tex] = [tex]\frac{(10^{3^k})^3 - 1}{9}[/tex]
Setter inn for 10[tex]^{3^k}[/tex] og får
s[tex]_{3^{k+1}}[/tex] = [tex]\frac{(9p\cdot 3^k + 1)^3 - 1}{9}[/tex] = (Newton's binomialformel ) = (27p[tex]^3[/tex]+ 9p[tex]^2[/tex] + p ) [tex]\cdot[/tex]3[tex]^{k+1}[/tex]
Konklusjon: Har vist at p ( n ) er sann for n = 1 [tex]\wedge[/tex] p( k ) [tex]\Rightarrow[/tex] p ( k + 1 )
Dermed kan vi slutte at p ( n ) er sann for alle n [tex]\geq[/tex] 1