matematikk.net

Finn $$1! + 2! + 3! + 4! + \ldots + 99! + 100! \pmod{15}$$

Primtallsfaktorisering av $15$ gir $15 = 3 \cdot 5$, slik at alle tall der $3$ og $5$ er faktorer vil være delelig på $15$. Derfor vil alle $n!$ der $n \geq 5$ være slik at $15 \mid n!$, så problemet forenkles til $1! + 2! + 3! + 4! \enspace (\text{mod } 15)$, og $1! + 2! + 3! + 4! \equiv 1 + 2 + 6 + 24 \equiv 33 \equiv 3 \enspace (\text{mod } 15) \Longrightarrow 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 99! + 100! \equiv 3 \enspace (\text{mod } 15)$

Kladde noe jeg også, men var litt sein.
Mønsteret trer fram:

[tex]1!+2!+3!+4!=33 \equiv 3 \pmod{15}\\ 5!+33 =153\equiv 3 \pmod{15}\\ 6!+153 =873\equiv 3 \pmod{15}\\ 7!+873 =5913\equiv 3 \pmod{15}\\ \sum_{n=1}^{100}n!\equiv 3 \pmod{15}[/tex]

Naturligvis rett. Fint!

Liten fakultetmodulooppfølger:

Finn $17! \enspace (\text{mod } 19)$

Hint hvis noen ikke vet helt hvor man skal starte:

[+] Skjult tekst

Wilsons teorem: $(p-1)! \equiv -1 \enspace (\text{mod } p)$, der $p$ er primtall.

Markus skrev:Liten fakultetmodulooppfølger:

Finn $17! \enspace (\text{mod } 19)$

Hint hvis noen ikke vet helt hvor man skal starte:

[+] Skjult tekst

Wilsons teorem: $(p-1)! \equiv -1 \enspace (\text{mod } p)$, der $p$ er primtall.

Mer generelt resultat: Gang Wilsons teorem med inversen av p-1 modulo p, som er -1, så fås at $(p-2)!\equiv 1\pmod p$.

Gustav skrev:

Markus skrev:Liten fakultetmodulooppfølger:

Finn $17! \enspace (\text{mod } 19)$

Hint hvis noen ikke vet helt hvor man skal starte:

[+] Skjult tekst

Wilsons teorem: $(p-1)! \equiv -1 \enspace (\text{mod } p)$, der $p$ er primtall.

Mer generelt resultat: Gang Wilsons teorem med inversen av p-1 modulo p, som er -1, så fås at $(p-2)!\equiv 1\pmod p$.

Fint resultat, og selv fulgte jeg samme tankegang som i beviset av det generelle resultatet da jeg løste denne selv. Med en gang man vet det generelle resultatet, blir jo denne særdeles triviell. Kult å se at det kan generaliseres!

Her er en til oppfølger:
Vis at $437 \mid (18! + 1)$

Markus skrev: Her er en til oppfølger.
Vis at $437 \mid (18! + 1)$

vi har at:
[tex]437=19*23[/tex]
og
[tex]\gcd(19,23)=1[/tex]
fra Wilson's theorem:
[tex]18!\equiv -1 \pmod{19}[/tex]
og
[tex]22!\equiv -1 \pmod{23}[/tex]
videre er:
[tex]22!=22*21*20*19*18!\equiv (-1)(-2)(-3)(-4)18!=24*18! \pmod{23}[/tex]
DVs:
[tex]22!\equiv18! \pmod{23}[/tex]
altså:
[tex]18!\equiv -1 \pmod{23}[/tex]
endelig:
[tex]18!\equiv -1 \pmod{19*23}[/tex]
eller:
[tex]18!\equiv -1 \pmod{437}[/tex]

Formidabelt!