Integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Integral

Innlegg Janhaa » 20/12-2017 21:07

Evaluer I under:

[tex]\large I=\int \frac{2^x}{(1+\sqrt{5})^x+(3+\sqrt{5})^x}\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7732
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Integral

Innlegg Solar Plexsus » 23/12-2017 03:30

Vi har gitt det ubestemte integralet

$(1) \;\; I = \int \frac{2^x}{(\sqrt{5} + 1)^x + (\sqrt{5} + 3)^x} \: dx$.

Sett $f(x)$ lik integranden i (1). Den kan omskrives til

$(2) \;\; f(x) = \frac{1}{(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^x + (\frac{\sqrt{5} + 3}{2})^x}$.

Ved å anvende det faktum at ${\textstyle (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^2 = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}}$, får vi ifølge (2) at

${\textstyle f(x) = [ (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^x + (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^{2x} ]^{-1} = \frac{1}{a^x} - \frac{1}{a^x + 1}}$,

der ${\textstyle a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$. Dette innebærer iht. (1) at

$(3) \;\; I = \int a^{-x} \: dx \; - \; \int \frac{1}{a^x + 1} \: dx \: = \; \frac{a^{-x}}{\ln a^{-1}} \; - \; J$,

der

$(4) \;\; J = \int \frac{1}{a^x + 1} \: dx$.

Ved å bruke substitusjonen $u = a^x + 1$ får vi at $\frac{du}{dx} = a^x \ln a = (u - 1)\ln a$, i.e. ${\textstyle dx = \frac{du}{(u - 1)\ln a}}$, hvilket ifølge (4) innebærer at

$J = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{(u - 1)\ln a} \; = \; \frac{1}{\ln a} \int \Big ( \frac{1}{u} - \frac{1}{u - 1} \Big ) \: du \; = \; \frac{1}{\ln a} \Big ( \ln |u| - \ln |u-1| \big ) - C$,

i.e.

$J = \frac{1}{\ln a}[ \, \ln(a^x + 1) - \ln a^x \, ] - C = \frac{\ln(1 + a^{-x})}{\ln a^{-1}} - C$,

som via substitusjonen ${\textstyle b = a^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ i kombinasjon (3) gir

$I \: = \: \frac{b^x - \ln(1 + b^x)}{\ln b} + C$.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1662
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Integral

Innlegg Janhaa » 23/12-2017 12:56

Solar Plexsus skrev:Vi har gitt det ubestemte integralet
$(1) \;\; I = \int \frac{2^x}{(\sqrt{5} + 1)^x + (\sqrt{5} + 3)^x} \: dx$.
Sett $f(x)$ lik integranden i (1). Den kan omskrives til
$(2) \;\; f(x) = \frac{1}{(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^x + (\frac{\sqrt{5} + 3}{2})^x}$.
Ved å anvende det faktum at ${\textstyle (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^2 = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}}$, får vi ifølge (2) at
${\textstyle f(x) = [ (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^x + (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^{2x} ]^{-1} = \frac{1}{a^x} - \frac{1}{a^x + 1}}$,
der ${\textstyle a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$. Dette innebærer iht. (1) at
$(3) \;\; I = \int a^{-x} \: dx \; - \; \int \frac{1}{a^x + 1} \: dx \: = \; \frac{a^{-x}}{\ln a^{-1}} \; - \; J$,
der
$(4) \;\; J = \int \frac{1}{a^x + 1} \: dx$.
Ved å bruke substitusjonen $u = a^x + 1$ får vi at $\frac{du}{dx} = a^x \ln a = (u - 1)\ln a$, i.e. ${\textstyle dx = \frac{du}{(u - 1)\ln a}}$, hvilket ifølge (4) innebærer at
$J = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{(u - 1)\ln a} \; = \; \frac{1}{\ln a} \int \Big ( \frac{1}{u} - \frac{1}{u - 1} \Big ) \: du \; = \; \frac{1}{\ln a} \Big ( \ln |u| - \ln |u-1| \big ) - C$,
i.e.
$J = \frac{1}{\ln a}[ \, \ln(a^x + 1) - \ln a^x \, ] - C = \frac{\ln(1 + a^{-x})}{\ln a^{-1}} - C$,
som via substitusjonen ${\textstyle b = a^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ i kombinasjon (3) gir
$I \: = \: \frac{b^x - \ln(1 + b^x)}{\ln b} + C$.

pent
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7732
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester