matematikk.net

På et bord ligger det 13 hvite, 15 sorte og 17 røde brikker. Du har lov til å velge ut to og to brikker med ulik farge og erstatte hver av dem med en brikke av den tredje fargen. Er det mulig å ende opp med at alle brikkene har samme farge?

Man vil oppnå 45 av én farge og null av de andre. Da må man oppnå likhet mellom antallene av de fjernede fargene.

Vi begynner med differansene 2 og 4 mellom antallene, og vil altså få denne lik 0 mellom hvilke to farger som helst. Operasjonen legger til 2 i antallet til en farge og trekker fra 1 i antallet til de to andre fargene. Operasjonen endrer differansen mellom to farger med 0 når de begge blir 1 mindre, og 3 når ene fargen blir 2 mer mens den andre blir 1 mindre.

Siden vi bare kan endre differansen mellom to antall farger med multiplum av 3 og antallene begynner med differanse på 2 og 4, kan man ikke få likhet mellom to farger, og derfor ikke ende opp med at brikkene har samme farge.

Riktig

Dette kan også formuleres ved hjelp av invariante størrelser. Vi ser at differansen mellom antallet brikker i ulike farger er invariant modulo 3.