matematikk.net

spesiell DE, løs den:

[tex]\large 2y - xy' = y' \ln(y')[/tex]

Janhaa skrev:spesiell DE, løs den:

[tex]\large 2y - xy' = y' \ln(y')[/tex]

Spesiell er vel mildt sagt Jeg finner heller ingen pen eksplisitt løsning, men her er utregningene mine:

Derivasjon mhp x gir

$y'=y''(\ln y'+1+x)$

La $u=y'$, så $u'=y''$. Vi har da fått ligningen på formen $\frac{du}{dx}=F(x,u)$:

$u'=\frac{u}{\ln u+1+x}$

La $u=e^v$, så $u'=v'e^v$, og ligningen blir

$v'e^v=\frac{e^v}{\ln e^v+1+x}$, som kan skrives

$v'=\frac{1}{v+1+x}$.

La $z=v+1+x$, så $z'=v'+1$ og ligningen blir ytterligere forenklet til

$z'=\frac{1}{z}+1$ (visstnok kjent som en Chini-type ligning). Siden den er separabel kan den integreres, og vi får

$z-\ln(z+1)=x+C$. Løser vi for $z$ kommer Lamberts W-funksjon inn i bildet:

$z(x)=-W(Ce^{-x})-1$ for en konstant $C$.

Tilbakesubstituerer vi fås

$v(x)=z-x-1=-W(Ce^{-x})-x-2$

$u(x)=e^v=e^{-W(Ce^{-x})-x-2}$

$y(x)=y(0)+\int_0^x e^{-W(Ce^{-t})-t-2}\,dt$ som blir grufullt hvis man forsøker å integrere.

jeg synes dette var veldig smart tilnærming.
du kom godt lengre enn meg, havna også opp
med Lambert Omega funksjonen (W).

legger med 2 vedlegg, ett fra min eget forslag og ett fra en spansk professor (tror eg):