Julekalender #22

[Markus]

La $A_0$ være mengden $\{1,2,3,4\}$. La $A_{i+1}$ være mengden av alle mulige summer du kan få ved å addere to tall i $A_i$, der de to tallene ikke trenger å være forskjellige. Hvor mange forskjellige tall er det i $A_6$ og $A_{10}$? Generaliser slik at du har en formel for $\lvert A_n \rvert$.

(Her denoterer $\lvert M \rvert$ antall elementer i mengden $M$, hvis noen skulle være usikker.)

[Gjest offline]

på mobil så det blir litt stygt. Det første tallet i mengden addert med seg selv blir laveste tall. Det siste tallet i mengden addert med seg selv blir høyeste tall i den nye mengden. I tillegg vil man ha alle tallene imellom.
$ A_1 = ${$2*1, 3, 4. ..7, 4*2$}$. A_2 =${$2*2, 5, 6... 15, 4*4$}
Gjenkjenner Toerpotensene slik at
$A_n = ${$2^n, 2^n +1...2^{n+1}-1, 2^{n+1}$}
som gir $abs (A_n) = (2^{n+1}-2^n+1)$
$A_6=${$64,65,66...126,127,128$}
$A_{10}=${$1024,1025...2047,2048$}

[OYV offline]

Antall elementer i A[tex]_ n[/tex] = 3[tex]\cdot[/tex]2[tex]^n[/tex] + 1, n [tex]\geq[/tex]1

[Markus]

Formelen er selvsagt helt korrekt OYV!

Du tenker helt korrekt gjest, men du har gjort en liten feil med $2$-er potensene dine;

Istedenfor $A_n = \{2^n, \dots, 2^{n+1}\}$ får vi $A_n = \{2^n, \dots, 2^{n+2}\}$. Det er bare å betrakte transformasjonen fra $A_0 \to A_1$ så ser du at vi går fra $\{1,2,3,4\} \to \{2,3,4,5,6,7,8\}$ og $2^{1+1}\neq 8$, men $2^{1+2} = 8$. Hvis du nå endrer på dette ser du at $A_6 = \{64,\dots,256\}$, og det vil også gjøre den generelle formelen din korrekt.

Oppgaven er for øvrig en modifisert versjon av en av oppgavene i runde 2 i Abelkonkurransen 14/15.