Side 1 av 1

Nyttårsnøtt

InnleggSkrevet: 30/12-2017 20:31
Gustav
Finn det minste positive heltall $k$ slik at $1^2+2^2+3^2+...+k^2$ er et multiplum av $200$.

Re: Nyttårsnøtt

InnleggSkrevet: 30/12-2017 21:27
OYV
[tex]\sum_{i = 1}^{i = k}[/tex]i[tex]^2[/tex] = k [tex]\cdot[/tex](k + 1)[tex]\cdot[/tex][tex]\frac{2k + 1}{6}[/tex]

Minste k-verdi som gir eit multiplum av 200 har vi når ( k + 1 ) = 200 [tex]\Leftrightarrow[/tex] k = 199

Re: Nyttårsnøtt

InnleggSkrevet: 30/12-2017 22:05
OYV
Trekker tilbake svaret i føreg. innlegg. For at summen skal være et multiplum av 200 , må den i tillegg være delelig med 6.
Dette kravet er oppfylt når k +1 = 1200 [tex]\Leftrightarrow[/tex] k = 1199 ( dette er trolig ikke den minste k-verdien som tilfredsstiller kravet )

Re: Nyttårsnøtt

InnleggSkrevet: 30/12-2017 23:34
Markus
Neppe den peneste løsningen, men her er et forsøk med et hint av brute force:

Vi bruker at $1^2+2^2+3^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$, som forøvrig kan vises ved induksjon.
Primtallsfaktorisering av $200$ gir $200=5^2\cdot 2^3$, slik at vi ønsker å finne en $n \in \mathbb{N}$ slik at $5^2 \cdot 2^3 \cdot n = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ for en eller annen $k \in \mathbb{N}$.
Vi kan skrive om likningen til $2^4\cdot 5^2 \cdot 3 \cdot n = k(k+1)(2k+1)$.
Observerer videre at $2k+1$ alltid er odd slik at $k$ eller $k+1$ må være et multippel av $2^4$. Vi går videre med førstnevnte, og lar $k=m \cdot 2^4$ for en $m \in \mathbb{N}$, og ser når vi får alle primtallsfaktorene til $1200$:

$m = 2 \to k = 2^5$ og da er $k+1=33=3\cdot 11$ og $2k+1=65=5 \cdot 13$, så alle primfaktorene er ikke tilstede.
$m = 3 \to k= 3 \cdot 2^4$ og da er $k+1=49=7^2$ og $2k+1=97=\text{primtall}$, så alle primfaktorene er ikke tilstede.
$m = 4 \to k=2^6$ og da er $k+1=65=5\cdot 13$ og $2k+1=129 = \text{primtall}$, så alle primfaktorene er ikke tilstede.
$m=5 \to k= 5 \cdot 2^4$ og da er $k+1=81=3^4$ og $2k+1=161=7 \cdot 23$, så alle primfaktorene er ikke tilstede.
$m=6 \to k = 3 \cdot 2^5$ og da er $k+1=97 = \text{primtall}$ og $2k+1=193$, så alle primfaktorene er ikke tilstede.
$m=7 \to k= 7 \cdot 2^4$ og da er $k+1=113 = \text{primtall}$ og $2k+1=225=3^2 \cdot 5^2$, og da er alle primfaktorene tilstede!

Altså er den minste verdien av $k=7 \cdot 2^4 = 112$

(og da er for så vidt $n=2373$)

Re: Nyttårsnøtt

InnleggSkrevet: 31/12-2017 01:40
Gustav
112 er helt korrekt!

Re: Nyttårsnøtt

InnleggSkrevet: 31/12-2017 13:24
OYV
Her viser Markus analytiske ferdigheter. Bra !